第 7 章　撞墙的数学家

论点：数学里你遇到最纯的不可验证（unverifiable）（难解 intractable，有时不可判定 undecidable），而有能力的应对是：验证有限切片并证明界（证书 certificate）、把目标换成等价但更可解的陈述（代理替换 proxy substitution）、用接受 ε 误差的概率方法（probabilistic method）。

撞墙

难题之难，常常不在它有多硬，而在你量不出自己离它还有多远。

爬山的人能看见山顶，调试程序的人能收到报错，他们至少知道方向对不对、是近了还是远了。证明一个数学猜想不给你这些。你可能离答案只剩一个念头，也可能隔着一个世纪，而手边没有任何仪表告诉你是哪一种。黎曼 1859 年那篇只有八页的论文里⁹，把后来以他名字命名的猜想当作一句顺带的话写下，又补了一句：人们当然希望有一个严格的证明；在几次徒劳的短暂尝试之后，我暂时把这件事搁下了，因为它对我接下来的目的并非必需。这一搁，搁了一百六十多年。

这一章要看的，是数学家在这堵墙前到底做什么。我选数学作为现场，是因为它给出的，是不可验证最纯的一种形态。这里没有藏起来的状态，没有会骗你的对手，没有时间不够用的借口。命题要么真，要么假，黑白分明。然而恰恰在这个最干净的地方，验证依然系统地不可得。看清楚一个有能力的人在这里如何行动，后面那些更脏的现场（控制台前的人、放出去的智能体、看不见自己的组织）里发生的事，就有了一个参照。

验证的鸿沟

先把这堵墙的形状说准。

核对一个证明是容易的，找到一个证明是难的。给你一份写全的形式推导，逐行对照公理和推理规则检查，是一道机械活，原则上一台机器就能完成，而且一定能在有限步内给出是或否。找到那份推导，则是另一回事。这道不对称是整章的地基。

它有一个精确的逻辑表述。1936 年，丘奇与图灵各自证明了判定问题（Entscheidungsproblem）无解：不存在一个算法，能对任意一阶逻辑命题判定它是否逻辑有效，等价地说（凭哥德尔完备性定理（Gödel's completeness theorem）），是否可证。对一个足够丰富、可递归公理化且一致的系统（比如皮亚诺算术或 ZFC），它的定理集是递归可枚举（recursively enumerable）但不可递归的，即你能把所有证明一条条列举出来，却没有一个程序能判定某命题不是定理。检验可判定，定理性不可判定，二者之差就是那道鸿沟。

深入一层（可跳过）：「足够丰富」这个限定是吃重的。存在确实可判定的理论，普雷斯伯格算术（只有加法的自然数）、塔斯基的实闭域，在这些世界里有判定程序，凡命题皆可机械裁决。不可判定不是逻辑的普遍宿命，而是表达力到达某个门槛后的代价。RH（Riemann hypothesis）所在的解析数论，远在那个门槛之上。

更扎人的一层是，不仅证明搜索难，连「我是否接近」都没有判定程序。这正是 RH 折磨人的地方，它抵抗的不只是求解，还有对进度的估计。在第 2 章的五种处境里，这一章站在「不可判定」与「难解」的交界，有些问题原则上无程序，有些有程序但代价大到不可能在宇宙寿命内跑完。墙后面是什么，你看不见，于是有能力的人不再正面凿墙，改换姿势。下面三种姿势会反复出现在本书别的章里，只是换了名字。

证书与界

第一种姿势：不再验证整体，只验证一个切片，并为它证一个有保证的界。

回到 ζ 函数。黎曼把欧拉的素数级数延拓成整个复平面上的函数，写下它的完备形式

$$\xi(s) = \tfrac{1}{2}\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma!\left(\tfrac{s}{2}\right)\zeta(s),\qquad \xi(s)=\xi(1-s).$$

这个对称的函数方程（functional equation）把临界带（critical strip）左右对折。猜想说的是，$\zeta$ 的全部非平凡零点都落在临界线（critical line）$\operatorname{Re}(s)=\tfrac12$ 上（平凡零点在负偶数处）。「全部」这个量词就是无法验证的所在。

但有限多个零点可以验证。这里要分清两件常被混为一谈的事。古尔东在 2004 年算出了头 $10^{13}$ 个零点都在线上¹⁷，这是数值计算，用高精度浮点进行，给人极强的信心，却不是证书，因为它没有把舍入误差严格框住。普拉特 2017 年做的是另一回事¹⁸：他用区间算术（interval arithmetic），把虚部直到约 $3.06\times10^{10}$ 高度的所有零点严格地锁在临界线上，普拉特与特鲁吉安 2021 年把这个高度推到 $3\times10^{12}$。后两者才是证书，一个有界的、局部的、可机械复核的保证。它为真，但不是定理。零点验到再高，也跨不过「全部」那道坎。

这种姿势在数学里有其体面的先例。1896 年，阿达马与德拉瓦莱普桑各自证明了素数定理（prime number theorem）$\pi(x)\sim x/\ln x$，靠的是一个比 RH 弱得多却够得着的界：$\zeta$ 在直线 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上不取零。证不了零点都在 $\tfrac12$，那就先证它们都不在直线 $1$ 上。这是用一个能证的弱命题换取通往强命题路上的一段实在进展。

同一种姿势横跨到软件里，面目立刻熟悉。类型系统（type system）不证明程序「全对」，它只证明某一条性质（不会把整数当指针解引用），换来的是可判定的检查。形式化验证（formal verification）走得更远，黑尔斯团队在 2017 年完成了开普勒猜想（Kepler conjecture）的机器可核对证明²⁵，把一个连人类裁判都吵了多年的论证压成逐行可验的证书。代价向来一致：证书买到的是一个切片上的确定，赌上的是普遍性，切片不是定理。于是有人转而去动那个目标本身。

代理替换

第二种姿势：别再死守原来的命题，把它换成一个等价但更好对付的陈述。

RH 的等价改写多得惊人。李建军 1997 年给出一个判据¹⁴：RH 成立，当且仅当一列实数 $\lambda_n\ge 0$ 对所有 $n\ge1$ 成立，其中

$$\lambda_n=\sum_{\rho}\left[1-\left(1-\tfrac{1}{\rho}\right)^{n}\right],$$

求和取遍非平凡零点。一个关于零点位置的几何陈述，被翻译成一列数的正性。奈曼与博伊林给出另一个：RH 等价于示性函数 $\chi_{(0,1)}$ 落在一族被伸缩的小数部分函数张成的 $L^2(0,1)$ 闭包里，把零点问题翻译成一个逼近问题；巴埃斯-杜阿尔特 2003 年把它收紧成只用整数伸缩的序列版本¹⁶，对应一列距离 $d_n\to0$。拉加里亚斯 2002 年甚至给出一个初等到能写在明信片上的等价³²：对所有 $n$，$\sigma(n)\le H_n+\exp(H_n)\ln H_n$，其中 $H_n$ 是调和数，$\sigma$ 是因子和。

我自己也在这条路上走过一程。把 RH 搬进李判据（Li's criterion）、搬进奈曼-博伊林-巴埃斯-杜阿尔特的逼近框架、再搬进算子谱与随机过程的语言，每一次都怀着同一个指望：换一种语言，也许困难就在新坐标里露出一个把手。每一次得到的结论也都一样，等价是真的，难度一分没少。我没有把问题解开，我只是把它改了个名字换了身衣服。

这就是代理替换在数学里的标准败法，值得给它起个准确的名字：一个忠实却不更易的代理。等价保证了它指向的还是同一个真目标（忠实），可它一点没比原问题更可解（不更易）。这一招的成败全压在能不能同时拿到忠实与更易这两样上，而二者兼得极其罕见。罕见到，这正是全部的手艺所在。

把这两个维度摊成一张表，本章埋的一根线就显出来了：

	更易	不更易
忠实	理想代理（罕见，手艺全在此）	数学的等价改写：你只是把困难改了名（本章）
不忠实	Goodhart：你优化代理，真目标却烂掉（第 8、11 章）	无用，没人会要

数学家栽在左下到右上的对角线左端：忠实但不更易。后面看组织那一章，会栽在另一端：一个更易却不忠实的代理，你拼命优化它，真正在意的东西反而坏掉。同一招，两个相反的失效方向。第 11 章会把这两端正式对接。眼下记住一点就够：换目标不是作弊，也不是出路，它是一种姿势，成不成另说。

概率方法

第三种姿势最违反数学的本能：不再要一个二值的判决，转而握住一个标定（calibration）的概率，接受有界的出错风险去行动。

素性检验（primality test）是最干净的例子。要判断一个大数是不是素数，确定性算法代价高昂，米勒-拉宾（Miller-Rabin）换了个问法。若 $n$ 是合数，一个随机选取的底至多以 $1/4$ 的概率被它蒙混过去，独立做 $k$ 轮则误判概率降到 $\le (1/4)^k$。索洛维-施特拉森更早给出误差 $\le (1/2)^k$ 的版本²⁰（1977 年），拉宾的版本是 1980 年¹⁹。「以 $1-\varepsilon$ 的概率为素数」是一个和「已证明为素数」根本不同的认识对象，但工程上足够好，而且可以精到任意程度，加几轮就是了。

要紧的是看清这里到底放弃了什么。放弃的是「确定性的种类」，不是「严格性」。那个 $(1/4)^k$ 的界本身是一条定理，证得严严实实。你没有降低标准，只是换了一种能在预算内交付的标准。概率方法在纯数学里同样登堂入室，埃尔德什的概率方法（Alon 与 Spencer 写成了一本经典²⁶）能证明某个对象存在，靠的是证它出现的概率为正，却不把对象具体给你。存在性被证明了，构造却缺席。

这种姿势一路通到 RH 的信念本身。蒙哥马利 1973 年研究零点的配对关联（pair correlation）³⁰，得出并猜想归一化后的零点对关联函数形如

$$R_2(u)=1-\left(\frac{\sin \pi u}{\pi u}\right)^{2}.$$

戴森在普林斯顿一眼认出，这正是随机矩阵高斯酉系综（Gaussian unitary ensemble, GUE）本征值的配对关联。奥德利兹科 1987 年用海量零点做数值³³，把这个吻合验得令人窒息。这些都不是证明，却是极强的证据，让数学家相信 RH，相信的方式和物理学家相信一条尚未被证伪的定律没有本质区别。数学的内部竟也长出了一套在不可验证中形成信念的办法。

数学家怎么判断

于是来到这一章真正的人的部分：当神谕永远不来，有判断力的人靠什么持有信念、决定往哪使劲。

数学对外是演绎的，对内是似真的。波利亚专门写了《数学与似真推理》²，讲数学家如何在没有证明时凭类比、归纳、特例去掂量一个命题的分量；阿达马调查了数学发明的心理³，记下酝酿与顿悟的节律；庞加莱留下了那个著名的瞬间⁵，踏上公共马车踏板的刹那，富克斯函数与非欧几何的联系毫无征兆地涌上心头。这些不是证明的替代品，而是证明之前那段没有仪表的路上，人实际依赖的东西。

为什么数学家在证明出现之前就相信 RH？因为证据在各个方向上累积并互相印证：海量零点验在线上，众多等价形式没有一个垮掉，它的类比版本已被攻克（韦伊猜想（Weil conjectures），即函数域上的黎曼假设，被德利涅证明），统计行为精确符合随机矩阵的预言。没有哪一条是证明，合在一起却构成一种有纪律的信念。

数学界自己也反思过这种信念的地位。瑟斯顿 1994 年的《论数学中的证明与进展》²¹主张，数学推进的是人类的理解，而不只是形式证明的库存；贾菲与奎因 1993 年那场关于「理论数学」的争论²²，正是在问猜想驱动、证据先行的工作在多大程度上算数学。陶哲轩追问什么是好的数学²⁹，答案里没有一条是「已被证明」。把这些放在一起看，一个判断「某命题多半为真、值得投入」的能力本身就是一种标定的信念，而这恰是第四部要正面命名的东西。一个有能力的主体在神谕缺席时并不瘫痪，也不假装确定，他持有一个标好刻度的信念，然后照样行动。

这一章通向哪里

撞上最纯的不可验证，数学家没有等到一个判定程序。他得到的是：证书（验一个切片、证一个界），代理替换（把目标换成等价陈述，并坦白承认它往往忠实却不更易），概率接受（放弃二值判决、握住标定的概率行动），以及在证明之前持有信念的判断力。

这些都不是数学独有的应急手段。把不受信的代码关进沙箱、给一个组织做审计、在界面背后揣摩用户没说出口的偏好，伸手去够的是同样这几样东西，只是换了行话。第三部会把每一招从它生长的领域里拎出来，单独命名、跨域并置，那张对照表就是全书的载荷。

还有一句话留在这里。这本书自己的核心命题，那个「应对会收敛到同一小套」的论断，我此刻也无法验证。我对它的相信和数学家对 RH 的相信是同一种东西：一个建立在跨域证据上、标好了刻度、却没有证明的信念。第 14 章会回到这件事，并让这本书亲自去做它一直在描述的那件事。

下一章： 8. 看不见自己的组织 →← 6. 放出去的智能体

参考文献

落足点：① 历史上科学家的判断　② 理论上被研究过的东西　③ 科学如何进展　④ 如何在无法验证的世界里生活。本节经网络逐条核实。

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G. Polya (1954).《Mathematics and Plausible Reasoning》（2 卷）. Princeton University Press. [①④] 两卷分别讨论数学中的归纳与类比，以及似真推理的逻辑结构，论证数学家在拿到严格证明之前，靠观察特例、归纳模式、权衡证据来形成对命题的信念。本章正文借它点明「数学对外是演绎的，对内是似真的」，是理解似真推理这一概念的源头读物。
J. Hadamard (1945).《An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field》. Princeton University Press. [①] 阿达马调查了数学家的创造心理，提炼出准备、酝酿、顿悟、验证的发现节律，强调潜意识工作与无预兆的灵感闪现。它为本章描述庞加莱式的顿悟提供了第一手的心理学考察，说明数学判断很大一部分发生在意识与证明之外。
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H. Poincaré (1908).《Science et Méthode》. Flammarion. [①] 书中那段关于踏上公共马车踏板时灵感涌现的自述，是数学发现心理学最常被引用的第一手记录，庞加莱借此剖析直觉、选择与潜意识在创造中的作用。本章正文直接用到这个瞬间，说明顿悟如何在没有任何征兆时把分散的线索接通。
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E. P. Wigner (1960).「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」. Communications on Pure and Applied Mathematics, 13(1). [②③] 维格纳惊讶于抽象数学概念竟能如此精准地描述物理世界，称这种契合是一份我们既不理解也不配拥有的奇异礼物。这篇短文提出的难题，至今没有公认答案，对本章而言它示范了一种对深层规律的信念如何在缺乏证明的情况下被严肃对待。
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H. M. Edwards (1974).《Riemann's Zeta Function》. Academic Press. [②] 爱德华兹这本专著围绕黎曼 1859 年原文展开，逐步铺陈 ζ 函数理论、素数定理与黎曼假设的来龙去脉，兼顾历史脉络与技术细节。它是进入 ζ 函数与 RH 的经典入门读物，为本章涉及的零点、临界线等概念提供了可靠的背景。
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E. Bombieri (2000).「Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis」. Clay Mathematics Institute. [②④] 这是克雷数学研究所为千禧年大奖问题撰写的 RH 官方问题陈述，邦别里精炼地交代了猜想的来历、精确表述及其在数论中的份量。它是了解 RH 为何被列为世纪难题的权威切入点，本章对 RH 地位的判断可在此找到背书。
J. B. Conrey (2003).「The Riemann Hypothesis」. Notices of the American Mathematical Society, 50(3). [②③] 康里这篇综述面向广泛读者，梳理了支持 RH 的各类证据，包括零点的数值验证、随机矩阵理论的吻合，以及函数域上类比的已被证明。它把本章三种姿势所依赖的证据汇于一处，是了解数学界为何相信 RH 的便捷读物。
X.-J. Li (1997).「The Positivity of a Sequence of Numbers and the Riemann Hypothesis」. Journal of Number Theory, 65(2). [②④] 李建军证明 RH 等价于一列由零点定义的实数 $\lambda_n$ 对所有 $n$ 非负，把零点位置这一几何陈述翻译成一个序列的正性判据。本章正文以它为代理替换的头号例子，说明等价改写如何忠实却未必更易。
E. Bombieri & J. C. Lagarias (1999).「Complements to Li's Criterion for the Riemann Hypothesis」. Journal of Number Theory, 77(2). [②④] 两位作者指出李判据其实是任意复数多重集一组一般不等式的特例，并不特属于 ζ 函数，又借古伊南-韦伊显式公式给出 $\lambda_n$ 的算术表达式，把它与韦伊的 RH 判据接上。它深化了对李判据的理解，呈现同一个等价命题如何在不同语言间被反复重写，正是本章代理替换主题的延展。
L. Báez-Duarte (2003).「A Strengthening of the Nyman-Beurling Criterion for the Riemann Hypothesis」. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei Mat. Appl., 14(1). [②④] 巴埃斯-杜阿尔特把奈曼-博伊林的逼近判据收紧为只用整数伸缩的序列版本，使 RH 等价于一列逼近距离 $d_n$ 趋于零。它是本章列举的又一个等价改写，把零点问题搬进 $L^2$ 逼近的框架，同样印证了忠实代理常常并不更易求解。
X. Gourdon (2004).「The 10^13 First Zeros of the Riemann Zeta Function, and Zeros Computation at Very Large Height」. 在线技术报告（numbers.computation.free.fr）. [②④] 古尔东借助 Odlyzko-Schönhage 算法用高精度浮点计算，核验了头 $10^{13}$ 个零点都落在临界线上。本章特意拿它与普拉特对照：它给出极强的数值信心，但未严格框住舍入误差，因而是数值结果而非可机械复核的证书。
D. J. Platt (2017).「Isolating Some Non-trivial Zeros of Zeta」. Mathematics of Computation, 86(307). [②④] 普拉特用区间算术把零点严格隔离在临界线上，使误差有可证的上界，从而把数值核验升格为可机械复核的证书。本章用它示范「证书与界」这一姿势：不证整体，只为一个有限切片证一个有保证的界。
M. O. Rabin (1980).「Probabilistic Algorithm for Testing Primality」. Journal of Number Theory, 12(1). [②④] 拉宾给出米勒-拉宾素性检验：若 $n$ 为合数，随机选取的底至多以 $1/4$ 的概率瞒过它，独立做 $k$ 轮误判概率降到 $(1/4)^k$。本章用它作为概率方法最干净的例子，说明那个误差界本身是被严格证明的定理，放弃的是确定性的种类而非严格性。
R. Solovay & V. Strassen (1977).「A Fast Monte-Carlo Test for Primality」. SIAM Journal on Computing, 6(1). [②④] 索洛维与施特拉森更早提出一个基于雅可比符号的概率素性检验，单轮误判概率至多 $1/2$，是随机化算法的奠基工作之一。本章把它与拉宾的版本并置，说明用概率方法换取在预算内可交付的判定，在计算数论里早有先例。
W. P. Thurston (1994).「On Proof and Progress in Mathematics」. Bulletin of the American Mathematical Society, 30(2). [①③] 瑟斯顿主张数学真正推进的是人类对数学的理解，而不只是形式证明的库存，证明只是社群传递与确认理解的一种社会化手段。本章末尾援引它来挑战「数学只等于已证定理」的窄化看法，是反思证明地位的必读文献。
A. Jaffe & F. Quinn (1993).「"Theoretical Mathematics": Toward a Cultural Synthesis of Mathematics and Theoretical Physics」. Bulletin of the American Mathematical Society, 29(1). [①③] 贾菲与奎因提出区分「理论数学」与严格数学，建议把猜想驱动、未经严格证明的工作明确标注出来，以免侵蚀数学的可靠性，由此引发数学界一场广受关注的争论。本章借这场争论提问：证据先行的工作在多大程度上算数学，正切中全书对验证与信念的关切。
J. von Neumann (1947).「The Mathematician」. 收于 R. B. Heywood（编）,《The Works of the Mind》. University of Chicago Press. [①③] 冯·诺依曼在这篇随笔里反思数学的本性，谈数学如何在抽象与经验源头之间往返，又如何凭审美标准选择方向以及为何远离经验源头会有退化的风险。它从一位横跨多领域的大家视角，说明数学判断中审美与品味的分量，呼应本章对数学家如何决定往哪使劲的讨论。
K. Appel & W. Haken (1977).「Every Planar Map Is Four Colorable, Part I: Discharging」. Illinois Journal of Mathematics, 21(3). [②③] 阿佩尔与哈肯借助大量计算机检查的不可避免构形集，证明了四色定理，这是首个本质依赖计算机的著名数学证明。它引出了一个延续至今的争论：人类无法逐行通读的证明是否仍算证明，与本章对证书与可机械复核保证的讨论直接相关。
T. Hales et al. (2017).「A Formal Proof of the Kepler Conjecture」. Forum of Mathematics, Pi, 5. [②③④] 黑尔斯团队的 Flyspeck 项目用 HOL Light 与 Isabelle 证明助手，完成了开普勒猜想的完全形式化、可机械核对的证明，了结了原证明因人工裁判难以彻底检验而悬而未决的状态。本章用它说明形式化验证如何把有争议的论证压成逐行可验的证书。
N. Alon & J. H. Spencer (1992).《The Probabilistic Method》. Wiley. [②④] 这本经典系统呈现了埃尔德什开创的概率方法：要证某个组合对象存在，便证它随机出现的概率为正，从而断定它必然存在，却往往无法把它具体构造出来。本章借它点出概率方法在纯数学中证明存在性时存在被证明、构造却缺席的特征。
P. J. Davis & R. Hersh (1981).《The Mathematical Experience》. Birkhäuser. [①③] 戴维斯与赫什从数学家的实际经验出发，讨论数学对象的存在地位、证明的角色与数学的哲学处境，呈现了一种不同于形式主义教条的从业者视角。它为本章理解数学家如何在实践中持有信念、看待真理提供了贴近现场的反思。
W. T. Gowers (2000).「The Two Cultures of Mathematics」. 收于《Mathematics: Frontiers and Perspectives》. American Mathematical Society. [①③] 高尔斯区分数学中的两种文化：理论构建者与问题解决者，前者以理解为目的去解题，后者以解题为目的去理解，并以代数几何、朗兰兹纲领与组合数论为对照。它说明数学家对何谓深刻、何谓好工作可有不同尺度，呼应本章对数学判断标准的讨论。
T. Tao (2007).「What Is Good Mathematics?」. Bulletin of the American Mathematical Society, 44(4). [①③] 陶哲轩列举了好数学的众多互不相同的维度，从严格、深刻、漂亮到富于应用、能开辟方向等，论证不存在单一标准，且这些品质长期看往往彼此牵引。本章借它说明判断一项工作值不值得投入本身就是一种能力，其中没有一条标准是已被证明。
H. L. Montgomery (1973).「The Pair Correlation of Zeros of the Zeta Function」. 收于《Analytic Number Theory》, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV. American Mathematical Society. [②③] 蒙哥马利研究 ζ 零点归一化后的配对关联，得出并猜想其形式，戴森随即认出这正是随机矩阵高斯酉系综本征值的配对关联。这一对接开启了数论与随机矩阵理论的深刻联系，是本章谈 RH 信念何以建立的关键证据之一。
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A. M. Odlyzko (1987).「On the Distribution of Spacings Between Zeros of the Zeta Function」. Mathematics of Computation, 48(177). [②④] 奥德利兹科用海量高精度计算考察 ζ 零点的间距分布，发现它与随机矩阵高斯酉系综的预言惊人吻合，为蒙哥马利-戴森的猜想提供了强有力的数值支持。本章用它说明这种统计契合虽非证明，却是让数学家相信 RH 的极强证据。

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第 7 章 撞墙的数学家

撞墙