所谓良序原理事实上就是这么个东西：任何集合上都可以构建一个良序关系。
一、所谓那些良基性质。
良基的性质是很有用的。我们都知道数学归纳法，但是数学归纳法只能归纳下标为自然数的东西；
而用良基的性质，就可以弄出来更强大的transfinite induction（超限归纳法），可以归纳下标为任意序数的东西。
一个良基的全序关系就叫良序关系。常见的实数上的≤就是良序关系。
超限归纳法：令“＜”为集盒W上的一个严格良序关系，phi(w)是关于某w∈W的一个性质。
如果对于所有w，都满足：“假如对所有x＜w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”，那么对于所有w∈W，phi(w)都必为真。
这个跟我们所熟悉的数学归纳法有点不同，但是也有相似的地方。证明如下：
已知对于所有w，都满足：“假如对所有x小于w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”。
假设存在一个w_0其phi(w_0)为假，那么必有w_1＜w_0其phi(w_1)为假…如此下去，
{w: phi(w)为假}这个集盒就没有最小的元素，违反了良基性质。证完。
用超限归纳法，我们就可以对一个函数进行recursive definition（递归定义），
即f(x)的值由x和{有序对<x',f(x')>: x'＜x} 共同来定义。
即，我们递归地定义一个G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})，再令f(x)=G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})。
这是可以通过良序性和超限归纳法做到的。
可以证明以下三种情况必有且只有一种为真：
-
{x: x<w}在f的定义域里且f(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})；
-
{x: x<w}在f的定义域里但w不在f的定义域里，且G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})未定义；
-
w不在f的定义域里且存在一个x＜w也不在f的定义域里。
证明如下：
如果一个定义域为W的子集的函数 h 符合
“w ∈ Dom(h) => 所有＜w 的 w'∈Dom(h)， 且 h(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})”
我们就把 h 叫做一个 “好”的函数。
用超限归纳法易得：如果 h 和 h' 都是好的，且w 在它们定义域的交集里，那么必有h(w)=h'(w)。
所以，令 f 为所有的好的函数的并集（即，只有有一个好的函数h的定义域包含了w，就有f(w)=h(w)），则 f 自己也是一个好的函数。
现在证明上述三个情况有一个为真。（显然不可能有两个同时为真）
如果w在f的定义域内，显然1为真。如果w是f的定义域外，显然可能为3，现只需证明不是3就是2。
假若{x: x<w}在f的定义域里但w不在f的定义域里，而G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})又定义了，那么把f扩张成F:
F(x)=f(x)（若x在f的定义域内），F(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})
那么F也是一个好的函数，可是F又明明不是f的子集，跟f的定义矛盾。所以G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})必须未定义。
再来说说这个
二、所谓的良序集的可比较性
良序集W的一个initial segment S，就是存在e∈w，S={x∈W: x＜e}。
一个很有用的结论——comparability of well-orderings（良序集的可比较性）：
令＜是W上的一个严格良序，＜’是W’上的一个严格良序。那么一下三种情况必有一种且只有一种为真：
-
W和W’间有良序同构；
-
存在一个e'∈W'，使得 W和{x'∈W': x'＜'e'}良序同构；
-
存在一个e∈W，使得 W’和{x∈W: x＜e}良序同构。
且无论哪种情况，该良序同构是唯一的。
证明：用之前所说到的递归定义，定义一个函数F，使得 F(w) 为 W'{F(v): v＜w}中的最小元素。（这里用到了良基性以及前面【一】提到的递归定义） 显然，如果x, y都在F的定义域里且 x＜y，那么就有 F(x)＜'F(y)；反之亦然。故F为其定义域于值域间的良序同构。如果1. 2. 3.同时为假，那么就违反了前面【一】所提到的后一个定理（不是1、3但又不是2）。所以1. 2. 3.至少必有一者为真。
证明1. 2. 3.只能有一个为真的话，
我们先证一个引理：
＜为W上的一个良序，J: W→W 符合 x＜y => J(x)＜J(y)，那么对于所有x∈W，有x＜J(x)。 引理证：
假设有违反者x_0，其J(x_0）＜x_0，那么J(J(x_0))＜J(x_0)＜x_0，一直下去，违反了良基性。引理证完。
如果1. 2. 3.中任意两者同时为真，那么明显违反了这个引理（良序同构是双射）。所以只能有一个为真。
最后证明唯一性。给定1. 2. 3.中任一种情况，如果i和I都是该情况中的良序同构，令上面的引理中的J分别为 (I·i^-1) 和 (i·I^-1)，可得i=I。证完。
三、最后说说良序原理
这个定理，一听起来就够华丽。Zermelo最先注意到里面的选择公理。实际上，在以上，都没用过选择公理，这里第一次用
大致证明：给定任意一个集合X，用选择公理构建一个函数 C: P(X){∅}（即X的非空子集构成的集盒）→ X，使得对任意子集Y，C(Y)∈Y。
定义一个 F: 序数ordinals→X，使得 F(a)={C(X{F(a'):a'＜a})}。当{F(a'):a'＜a} 为X的真子集时F才有定义；对其他序数a, F(a)为未定义。
显然，根据F的定义，如果a,b 都在F的定义域里且a＜b，则F(a)≠F(b)。
F是一个从序数的一个proper initial segment（【二】提到）到X的单射。
因为【一】中递归定义里面三种情况必有一种，可知F的值域必为X否则F不会无缘无故在某处失去定义。
故F为从序数的一个proper initial segment到X的双射，由此在X上构建出来一个良序关系。证完、
比这个良序定理更强（可以推出良序定理）更华丽的是著名Zorn’s Lemma：
令＜为P上的一个偏序，令L为P的一个子集且(L,＜)构成一个全序。若任意这样的L都有上界，那么P必有上界。
这个引理太著名，其证明很容易找到（我看了wiki上的），粗略证明如下：
假定Zorn’s Lemma是错的，P无上界。
用选择公理像上一个证明里面那样构建一个C。
用递归定义，定义一个 F: 序数ordinals→P，使得 F(a)=C({p∈P: 对于所有序数b＜a 有 F(b)＜p})。
注意“所有序数b＜a” 所构成的 F(b)的序列是一个全序集L_a。这个L_a有上界，可是P无上界，所以总有一个p∈P比L_a的上界要大。
这样F(a)永远不会失去定义。由于所有序数a并不构成集盒（而是构成一个proper class），所以这样的集盒P是不存在的。