问：装备锻造，一共有10层，每次成功的几率为50%，成功升1层，失败降1层，1层时不再下降。那么玩家平均锻造到10层一共需要锻造多少次？ 解：这个是个概率转移问题 也就是问题有10个状态,对应10层,开始在第1层,如果到达第10层则终止. 我们假设如果处于第k层,那么需要平均a(k)次才能够转移到第10层 于是a(10)=0,而对于k>2,a(k)=1+1/2(a(k+1)+a(k-1)) 我们只要求解这个递推数列即可。 而特征方程是x^2-2x+1=0 所以a(k)=a+bk+ck^2 得到 a(k)=90+k-k^2 于是a(1)=a(0)=90
推广一下到n层的. 于是递推式为a+bk+ck^2,满足 a=a+b+c (也就是a(0)=a(1)) a+b+c=a+b2+c2^2+2(也就是a(1)=2+a(2)) a+bn+cn^2=0 所以a=n^2-n,b=1,c=-1 也就是a(0)=n^2-n,这个是n层的结果.如果11层,的确结果就是110了。