大约公元前300年，在地中海的南海岸，在亚历山大市尼罗河西岸近旁，生活着一位人物，他的著作的影响可与《圣经》相匹敌。他的研究方法为哲学注入了活力，并且很可能在进入19世纪之前，这种方法就确定了数学的本质。他的著作在很长一段时期曾是高等教育不可缺少的组成部分，这种情况至今仍然如此。恢复他的著作，是中世纪欧洲文明重新开始的关键。斯宾诺沙(1632?1677，荷兰哲学家)模仿过它；A?林肯(1809～1865，美国第16任总统)研究过它；康德(1724～1804，德国哲学家)维护过它。
这位人物的名字就是欧几里得。对他的生活经历，实际上我们一无所知。他吃橄榄吗?他观看比赛吗?他究竟是高还是矮?这些问题中哪一个都没有历史的答案。我们所知道的全部情况，是他在亚历山大城开办过一所学校，有才华出众的学生，蔑视唯物论。他看起来是一个非常文雅但衣着古怪的人，并且至少写过两部著作，其中之一是一本失传的有关圆锥曲线的著作，它研究一个平面与一个圆锥相截所形成的曲线。这本著作，为后来阿波罗纽斯的重要著作奠定了基础。阿波罗纽斯在航海与天文学方面曾处于十分领先的地位。
欧几里得的另一部著名著作《几何原本》，是任何时候都被最广泛阅读的“书”。《几何原本》像《马尔他猎鹰》(20世纪40年代一本美国惊险小说)一样有一段值得夸耀的历史。首先，它实际上并不是一本书，而是13卷羊皮纸文稿，原作无一留存下来，它是通过一系列后来的版本流传下来的。在中世纪黑暗时代，它几乎完全销声匿迹。欧几里得著作的前4卷无论如何也不是原来的《几何原本》：一位名为希波克拉底(不是同名的医师)在公元前400年左右写过一本称为《原本》的书，一般认为，他必定拥有了在《几何原本》中出现过的大部分资料。《原本》目录中没有列入对该书有过贡献的人员的谢辞或名录。欧几里得没有就拥有任何定理的独创性提出过请求，他意识到他本人的作用是对希腊人所了解的几何学知识进行条理化与系统化。他是第一位借助于纯粹思维，而不是参照物理世界理解二维空间性质的大师。
欧几里得《几何原本》最重要的贡献，是革新了逻辑方法：首先，他直截了当地提出了形成精确定义的一些术语，因而确保人们对所有的名词和符号有共同的理解；其次，通过叙述明白的公理与公设(这两个术语是可互换的)形成一些概念，使得所叙述的知识与假定都可以使用；最后，利用这些公理和原先证明过的定理，仅仅使用被人们公认的逻辑规则，就能推出几何系统的逻辑结论。
人们非常非常挑剔，为什么这样坚持对每一个小的论断都要进行证明呢?数学与一座高大的建筑物不同，它是一个上下连贯的结构体系，如果有一个数学砖块跌落下来，整个建筑就会摇摇欲坠，甚至造成大部分无害的谬论进入系统，而使你不能信任任何事物。事实上，有一条逻辑定理说，如果允许任何不成立的定理进入逻辑系统，不管它涉及什么，那么你就能够用它来证明出1等于2来。根据一个传说，一个怀疑者曾使企图着手解决这个垃圾定理(然而实际上他说的是逆定理)的英国逻辑学家B?罗素(1872～1970)陷入困境。“好!”怀疑者大声说，“如果我允许1等于2，那么我能证明出你是罗马教皇。”罗素说必须考虑片刻，然后他回答说：“罗马教皇与我是2，因此罗马教皇与我是1”。
每一条论断都必须证明，直觉虽然是一种有价值的指导，但必须在证明的大门口得到检验。短语“直觉上自明”在证明的步骤上不是一个严格的理由。我们大家离难免出错全都非常遥远。请想像一下沿全长25000英里的地球赤道滚出一个线团。现在再想像在赤道上方1英尺做同样的事。你需要添加多长的线呢???是500英尺，还是5000英尺?让我们把这个问题变得更容易些。想像有两个不滚动的更大的球，一个球在太阳的表面，另一个在太阳表面之上1英尺。当你向上搬动1英尺时，你需要为哪个球添加更多的线呢，是地球上的球，还是太阳上的球?直觉告诉我们中的大多数人，应该是太阳上的球，但答案是，对每一个球来说，你必须添加的线的长度是相同的，即2π英尺，大约6英尺3英寸。
很久以前，有一个名为“让我们做一笔交易”的电视节目，一名参赛者面对三个由幕布隐蔽起来的舞台。一个舞台容纳一个价值昂贵的物品，可能是一辆汽车；另两个舞台里是末等奖。假定参赛者选择第二个舞台，那么主持人就让另两个幕布之一，例如幕布3打开。假定幕布3打开后显示出的是一个末等奖，那么真正的奖品在幕布1或你选择的幕布2背后。这时，主持人问你是否愿意改变原来的选择，在这种场合就是选择幕布1取代幕布 2。你干吗?直觉上看来，无论如何你的获奖机会是相同的：一半对一半。如果你没有其他信息，那就出现这种情况；如果有其他信息，你就改变你的选择，因为你有早先所作的选择与观察主持人动作的经历。对你从最初的选择开始的所有可能情况出发进行仔细的分析，或者应用适当的称为贝叶斯定理的公式，将显示出如果你改变自己的选择，就会提高你获奖的机会。在数学上有许多例子，在那里直觉失败，而审慎的形式推理将揭示真相。
精确性是另一种需要数学来证明的性质。一个观测者可能测量出边长为1正方形的对角线长为1．4，改进他的设备后得到的结果为1．41或1．414，虽然我们打算采用的这种近似值已经足够好了，但这种近似值绝不能揭示出对角线长度是无理数这样一个革命性的远见卓识。
数量上的微小改变，可能对质产生巨大的影响。请考虑一下国家的彩票。怀有希望的失败者无奈地耸耸肩说：“如果你不玩彩票，你就不会赢。”这当然是正确的。但同样正确的是，在百分比很小的范围内，无论你买彩票，还是不买彩票，你赢的机会是相同的。如果彩票代理人宣告，把你的中奖率从0．00001四舍五入为零的话，将出现什么情况呢?这是一个小的改变，但会对他们滚滚而来的年收入产生巨大的影响。
一位生活在纽约市的业余魔术师保罗?柯里发明了一种戏法，为上述这种效应提供了一个几何范例。取一张正方形的纸，在它上面画上7 × 7的小方格。把大的正方形剪开分成5片，然后按图所示重新安排这5片。结果形成一个“方炸面饼圈”，即与原正方形同样尺寸的一个正方形，但它的中央缺了一个小正方形。面积丢失怎么会出现呢?我们能否证明完整正方形与“方炸面饼圈”有相同的面积呢?
答案是，当剪出来的几小片被拼合在一起时，正好有一小片被重复使用了，因此有一小片巧妙地逃避了，也就是我们所说的形成了一个近似值。第二排的正方形恰好高一点点,
使得大正方形高出了1／49，这恰好可以说明丢失一小块正方形面积的原因。但是如果我们限制长度测量精确到2％，我们就不能说出两种构造之间的差别了，而且可尝试得到正方形的面积与方炸面饼圈面积相等这样一个神奇的结论。
这么小的偏差能对空间的现行理论产生作用吗?引导爱因斯坦创造弯曲空间的革命性理论??广义相对论的关键之一，就是经典牛顿理论在水星近日点出现的偏差。按照牛顿理论，行星都在理想的椭圆轨道上运动。行星上最接近太阳的那个点称为近日点，而如果牛顿理论是正确的，那么，当行星每年绕太阳轨道运行时，它应精确地回到同一个近日点。在1859年，勒威耶(法国天文学家，1811～1877)在巴黎宣布，他已经发现，水星的近日点确实移动了极小的距离??当然是一个没有什么实际影响的一个量??1世纪38弧秒。然而，此偏差必定是由于某些原因引起的。勒威耶说它是“值得天文学家们注意的一个重大难题”。1915年，爱因斯坦提出了足以计算水星轨道的理论，而且他发现了与微小偏差相符合的事实。按照一位名叫A?佩斯的人的说法，“这是爱因斯坦科学生涯中的一个重大事件，他甚至激动得三天没有工作。”事实上，要求偏差微小，至少是导致经典物理衰落的原因。
欧几里得的目标是使这个系统不存在未被承认的、根据推测和不严格的直觉而得到的假定。他叙述了23个定义、5个几何公设以及5个附加的所谓“公理”。再以这些为基础，他证明了465个定理??这基本上就是他那个时代的全部几何知识了。欧几里得所定义的，包括像点、线(他定义的线可以是曲的)、直线、圆、直角、曲面和平面等术语。在他所定义的这些术语中，某些术语非常精确，比如他说平行线是“位于同一平面，朝两个方向任意延长后在两个方向上都不相交的两条直线”。
欧几里得说圆是“包含在一个线(曲线)内的一个平面图形，从位于曲线内部的一点(称为中心)出发的所有直线段彼此相等”。对于直角，欧几里得定义为“当一条直线与另一条直线构成彼此相等的相邻两个角，这相等的两个角中任何一个角是一个直角”。
但欧几里得的另一些定义，例如点与线的定义，是含糊而且几乎无用的：“一条直线是平坦地落在它自身一些点上的图形。”这个定义可能来源于建筑行业，在这个行业中，通过眯起眼睛沿着它的延长方向凝视这种方式来检验一条线是否平直。为了理解它的含义，你必定已经对一条直线形成了印象。欧几里得把点定义为“没有组成部分(即不能再分)的事物”，另一个定义是，对它来说边界是无意义的。
欧几里得的公理更高雅。这些公理是非几何方面的逻辑论断，与几何学特定的公设相对的是，欧几里得显然认为公理是人们公认的理念。这正是早先由亚里士多德指出过的区别。通过明确揭示这些直觉的假定，欧几里得特意添加上他的公设(即公理)，显然他还感到需要把它们与他的纯几何论断加以区别。他思想深处的遗嘱，是他需要作这样完全的陈述：
1．与第三个事物相等的两个事物彼此相等；
2．等量加等量所得的总和相等；
3．等量减等量所余的差相等；
4．能彼此重合的事物相等；
5．整体大于部分。
作为欧几里得几何基础之几何内容的前言，是他的5条公设。其中前4条是简单的，能用某种完美的方式加以叙述。用现在的说法即：
1．已知任意两个点，可以画一条以这两个点为端点的直线；
2．任意线段可以沿两个方向无限延伸；
3．已知任意点，可画出一个以此点为中心、任意半径的圆；
4．所有直角都相等。
公设1与2看来与我们的经验一致。我们意识到，我们知道如何从一个点到另一个点画一条直线段，而且我们绝不会撞到阻止我们延长线段到达太空尽头的障碍物。
公设3稍微有点难以捉摸。其中一个方面是指，在空间中的距离以这样一种方式来定义，即当我们画出一个圆时，是把线段从一个位置移动到另一个位置而使线段的长度保持不变。欧几里得的第4公设看起来既简单又明显。为了理解难以捉摸之处，可回忆直角的定义：它是一条直线与另一条直线以下列方式相交而形成的，两边构成的角相等。我们已多次发现：一条直线垂直于另一条直线，在交点两边构成的角都是90。。但是由这个定义本身并不能证明这个结果，甚至不能确保角度的大小总是取同样的数值。我们可以想像一个世界，在其中，如果两条直线在一个已知点相交，角度可能等于90。；但如果它们在另一点相交，那么角度等于另一个值。所有直角相等的公设确保上述这种情况不会发生。在某种意义下，这意味着一条直线看起来沿着它的长度指向都相同，即处于一种平直性的状态。
欧几里得的第5公设，称为平行公设，看起来就不像其他公设那样明显和直觉了。它是欧几里得特有的创造，但它并不是他所记述的一大批知识的基本部分。而且他明显地不喜欢这个公设，因为他好像尽可能避免使用这个公设。后来的数学家亦不喜欢它，感到它作为一个公设不够简明单纯，而应该作为一个定理来加以证明。以下是与欧几里得最初表达形式相接近的一种形式：
5．已知一个线段以这种方式与两条直线相截：如果同旁内角之和小于两个直角，则两条直线最终会(在线段的那一边)相交。
平行公设给出了确定两条共面直线是否聚合、平行或发散的检验方法。为了理解这一点，有一个示意图是有帮助的。
平行公设有许多不同而相互等价的表达方式。下述形式使得说明空间情况的这个公设特别明白易懂：
已知一条直线及直线的一个外部点(不在此直线上的点)，则恰好存在另一条(在同一个平面上的)直线通过此外部点，且平行于已知直线。
以下两种可能的情况使平行公设不成立：一是可能不存在平行线这样的几何对象；二是通过某个外部点存在不止一条平行线。
在一张纸上画一条直线，并在此直线外的某个地方画一个点。过此点不能画出任何平行线似乎是可能的吗?过此点画出不止一条平行线似乎是可能的吗?平行公设能描述我们周围的世界吗?可能存在一种在其中数学相容性不成立的几何学吗?上述后两个问题最后导致理性思维上的一场革命。前一个问题出现在人们观察宇宙的时候；后一个问题出现于人们理解数学的本质与意义的场合。但是两千年以来，在人类知识的任何领域中很难出现另一种观念，它比欧几里得公理表达的“事实”，即有一条且只有一条平行线存在，更广泛地得到承认。
