本文是本人写于2009-08-20 20:16和2009-08-21 09:10两个时间段的文章，首次发在http://tieba.baidu.com/club/9314369/p/1996733 由于贴吧俱乐部功能的下线，现将本文转移到此，以防百度删除。
在本文中这样书写这些符号： 定积分 Int(f(x),上标,下标). 极限 lim(f(x),a→b)
在本文中，我们考虑一种广义积分，其积分区间倒是有界的，但是被积函数在区间之某些点处没有定义，并且在那些点附近是无界的。我记得课本上把这种点称之为瑕点。如：Int(1/sqrt(x),1,0)，被积函数1/sqrt(x)在x=0附近便是无界的，所以x=0就是一个瑕点。
在本文中，我们总假定f(x)与g(x)都是区间a<x≤b上的函数，并且对于任何a<u≤b，函数f(x)与g(x)皆在[u，b]上可积，此后不再每次声明。
定义：若lim(Int(f(x),b,u),u→a)=A，则称瑕积分Int(f(x),b,a)是收敛的，并且定义它的值为A.假如 lim(Int(f(x),b,u),u→a)不存在，则称Int(f(x),b,a)是发散的。
例：瑕积分I=Int(1/(x-a)^p,b,a)在p<1时收敛，而在p≥1时发散. 因为对于a<u<b,Int(1/(x-a)^p,b,u) = ① [1/(1-p)]*[(b-a)^(1-p)-(u-a)^(1-p)],当p≠1时, ② log((b-a)/(u-a)),当p=1时, 显然对于p<1, lim([(b-a)^(1-p)-(u-a)^(1-p)]/(1-p),u→a)=[(b-a)^(1-p)]/(1-p). 故I在p<1时收敛，但于P>1,P=1时, im([(b-a)^(1-p)-(u-a)^(1-p)]/(1-p),u→a),lim(log[(b-a)/(u-a)],u→a) 都不存在，故I在p≥1时发散.
瑕积分的理论和无穷积分的理论是完全平行的，所以，有如下结论： 1、Int(f(x),b,a)收敛（发散）的充要条件是：有a<c≤b,使Int(f(x),c,a)收敛（发散）. 2、若f(x)是非负的，则Int(f(x),b,a)收敛之充要条件是φ(u)=Int(f(x),b,u)为u的有界函数. 3、若有a<c≤b,使当a<x≤c时,0≤f(x)≤g(x),则 (i)当Int(g(x),b,a)收敛时,Int(f(x),b,a)收敛. (ii)当Int(f(x),b,a)发散时,Int(g(x),b,a)发散. 4、若Int(|f(x)|,b,a)收敛，则Int(f(x),b,a)收敛. 5、对于(a,b)上恒正的函数g(x),我们有 (i)设lim(f(x)/g(x),x→a)=μ，且μ≠0,则Int(f(x),b,a)与Int(g(x),b,a)同时收敛或者发散； (ii)设lim(f(x)/g(x),x→a)=0,则当Int(g(x),b,a)收敛时，Int(f(x),b,a)也收敛； (iii)设lim(f(x)/g(x),x→a)=+∞，则当Int(g(x),b,a)发散时，Int(f(x),b,a)也发散. 6、设lim(f(x)(x-a)^α,x→a)=μ≠0，则Int(f(x),b,a)在α＜0时收敛，而在α≥1时发散. 7、（关于瑕积分之Cauchy收敛原则[如果我没记错]）瑕积分Int(f(x),b,a)收敛之充要条件是：对于任给ε>0.恒有a<δ<b,使当a<u'<u''<δ时，|Int(f(x),u'',u')|<ε. 8、（关于瑕积分之Dirichlet检定法[如果我没记错]）设g(x)是恒正的，单调上升的函数，且lim(g(x),x→a)=0.若有常数M使对于一切u>a皆有|Int(f(x),b,u)|<M，则瑕积分Int(f(x)*g(x),b,a)收敛. 上述8条，论证和无穷积分的理论是基本相似的，各位如果有兴趣，可以自己试试看看，尝试证明，本人精力有限，便不再写出。
以上我们锁讨论者虽然只是一中类型的瑕积分，但它是典型的，比照着它，我们可考虑区间a≤x<c上的函数f(x)假定于任何u:a<u<c,函数f(x)皆在[a,u]上可积，若极限lim(Int(f(x),u,a),u→c)存在，则称瑕积分Int(f(x),c,a)收敛；否则，便说它是发散的，根据这定义，我们便不难证出瑕积分Int(φ(x),c,a)之各种基本性质. 还有一种瑕积分，其被积函数φ（x）仅定义在开区间(a,b)上，可任取a与b之间的一点c,假如瑕积分Int(f(x),c,a)与Int(f(x),b,c)皆收敛，则称瑕积分Int(f(x),b,a)收敛，并且定义Int(f(x),b,a)=Int(f(x),c,a)+Int(f(x),b,c).
例：对于瑕积分I=Int(log(sin(x)),π/2,0), 令y=1/sin(x),则当α>0时, lim(log(sin(x))/(1/sin^α(x)),x→0)=lim(-log(y)/y^α,y→∞)=0, 从而lim(log(sin(x))/(1/sqrt(x)),x→0)=lim(log((sin(x))/(1/sqrt(sin(x))))*(1/sqrt(sin(x))/(1/sqrt(x))),x→0)=0 根据前面的例题，积分Int(1/sqrt(x),1,0)收敛，从上文所写第五条之结论（ii）便知瑕积分I是收敛的。