从牛顿说起
说到流形，要从 Newton 说起。 寒假的时候，也不知是在哪儿看的，说是当时Newton对三次曲线分类，实可逆线性变换和平移变换下的标准型有78类。
今天读古今数学思想的时候才知道其实Newton只得到了72个，Stirling后来在1717年的时候又补了4个，一个叫 Jean paul de gua de maives（这货名字好奇特）的人在1740年的时候又补了两个。
又要说到三次曲线上一个非常神秘的结构。比方说给一个集合：
$$ {P (x,y) | y^{2}=x^{3}+17,x,y\in C}\bigcup{0} $$
定义一个运算$\bigoplus$，这个运算满足交换律、结合律、零元律、负元律。 在公元250年左右有个叫Diaphantus的人就求出了这个运算的一个表达式，后来Newton就在对这个非常神秘的运算公式进 行了几何解释（据说是在1670年后）。
后来euler在1756年到1757年间研究过一个类似的积分加法公式（举个例子就是 $ \arcsin{x}+ \arcsin{a} = \arcsin{x\bigoplus a} $，研究这个$\bigoplus$运算），后来Euler得到了 $x\bigoplus a$的一个表达式、并在1756-1757年间尝试用此公式来解一个常微方程（很显然那个的积分并不是初等函数）。 当时是说Fagano在1717，2020年先得到了特殊解，Euler在1756、1757的时候得到了一般解。 据说Gauss也研究过这个积分，他也获得了两个非常神秘的周期，而且这两个周期有非常奇葩的联系。(有空补上) 不过，很遗憾、事实上Lagrange早在1785年就已经发现，并且还发表了（古今数学思想上说的、、）， 我估计是当时 Gauss 没看到，当时Gauss是在1799年发现，写在日记本上，当然他没有即使发表。要不然……
1823年的时候，abel整合了以上这些人的工作，包括一般积分加法公式和双周期。 他发现，一般椭圆积分的关键思想是“反演”。从而椭圆积分概念走向椭圆函数概念。 椭圆函数的另一个发现者是Jacobi，他是在1827年的时候独立得到椭圆积分的“反演”思想。（也就是说Abel研究椭圆函数 的时候，Jacobi开始研究椭圆函数）他送了一篇没有证明的论文给Astronomische nachrichten，差不多是在同一时间， abel独立发表了他的《关于椭圆函数的研究》，两人都达到了从椭圆积分的反函数着手研究这一关键性想法。（但是好像后 来Jacobi承认，他是在看到abel的论文后才意识到反演的关键性所在。） 不过很可惜啊！！！！abel在1829年就去世了、jacobi活到1851年、发表了比abel更多的东西。而且1829年jacobi的 《椭圆函数基本新理论》成了椭圆函数的一本关键性著作。 通过Jacobi的来信，Legendre熟悉了Jacobi和Abel的工作，这么评价“我很满意地看到两个年轻数学家如此成功地开辟 了分析的一个分支，它很久以来是我喜爱的领域，但在我自己的国家中它却没有受到应有的重视”。
主要的问题在于，Abel积分的难点是，$x$是$y$的多值函数，那么积分中的$y$到底应该取什么值。所以Abel就认识到从 1666年Newton-Lebniz的微积分开始，建立的“单值函数论”的思想，经过了150多年的发展，如今遇到了巨大的困难。那么突破口在哪里呢？
这时候大神Riemann登场了、、Riemann大神常常被描述为一个纯粹数学家，不过这远非正确。虽然他对数学本身作了很多 贡献，但他深深地关心于物理及数学与物理世界的关系。（好吧、这个和这次主题无关、我多嘴了、）
Riemann发现关键是四维空间中看不到的某（打不出来）“紧化”后，“同样”于三维空间中“看得到”的环面（面包圈= =）， 这个环面上有独立的两个“同调圈”。Riemann并且还认识到那个积分的严格写法。后来riemann搞出来一个东西叫做 Riemann面，他把Gauss-Abel他们神秘的发现“所有椭圆函数都有两个周期”，被Riemann用Riemann面,【显然的】， 【直接的】，“看到了”！。那个普遍的拓扑定理，在：
- 1851年，Riemann知道。
- 1863年，Mobius独立发现。
- 1866年，Jordan独立知道。
- 1907年，Dehn和Heggard严格证明。
- 洞的个数叫做genus，是最基本的拓扑不变量。
几点感悟
说点感悟吧！
- Riemann genus是拓扑不变量，这是拓扑学进入数学主流的开始，从此，代数拓扑学和微分拓扑学逐步进入几乎所有 核心数学分支，成为二十世纪的数学Queen。代数拓扑学和微分拓扑学是流形思想的本质力量。
- Riemann得到 定理：“2元多项式方程具有有理函数解的充要条件 是它的Riemann 面的genus为零”。这是流形思想 应用于 多项式函数解 一个起点； 也可以看作现代代数几何的一个起点。
- Remann 1857年 用 Riemann 面 建立 Abel 积分的清楚理论。这是流形思想应用于分析，可看作大范围分析的一 个起点。
- Riemann 1854 年《关于几何基础的假设》建立了明确的内蕴几何学. 1905-1915年 Einstein广义相对论只有用 Riemann 几何的语言才能表述清楚。这是流形思想对物理的首次巨大影响。
- Riemann 1858 年得到了关于Riemann 面上亚纯函数个数的Riemann 不等式。 它的逐步推广成为后来代数几何学 的中心课题之一, 直至推广到 20世纪数学最宏伟的定理之一：1963年的 Atiyah-Singer指标定理。这是流形思想的一 个历史高峰。
- 最可惜的一点就是！当时，Riemann 的流形和拓扑思想在他在世时没有被广泛地理解和传播。Poincare 认识到数学 思想发展的历史大方向，把 Riemann的流形和拓扑思想发扬光大,用到数学的各个方面。
那么Poincar干了什么呢？Poincar 把流形和拓扑学思想用到代数方程和常微分方程。可否把流形和拓扑学思想用到偏微 分方程中呢？可以！Raoul bott 做了这件事情、并且获得了 wolf 奖！
好吧就说到这了，至于 Raoul bott 的工作，我貌似现在还没有领悟到真谛。不过好像是说：任何 n 维紧微分流形上 的任何椭圆型线性偏微分方程组的线性独立的解的个数与其对偶方程的线性独立的解的个数的差可以用微分拓扑不变量有效 地计算出（大大超过了 Golois 理论的一元n次代数方程）。