前阵子看线性空间定义的时候无意间注意到定义中的加法交换律实际上是可以由其他七条证明出来的。
我们先明确课本上的定义：
定义：设V是一个非空集合，K是一个数域。又设：
（i）（定义加法）在V中定义了一种运算，称为加法。即对V中任意两个元素a和b，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为a+b；
（ii）（定义数乘）在K中的数与V的元素间定义了一种运算，称为数乘。即对V中任意元素a和数域K中任意数k，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为ka；
如果加法与数乘满足下面列出的八条运算法则，那么称V是数域K上的一个线性空间。
（1）（加法交换律）对任意的a,b属于V，a+b=b+a；
（2）（加法结合律）对任意的a,b,c属于V，a+(b+c)=(a+b)+c；
（3）（存在零元）存在一个元素0属于V，使对一切a属于V，有a+0=a；
（4）（存在负元）对任一a属于V，都存在b属于V使a+b=0。
（5）（数乘单位元）数域中的数1，有1*a=a；
（6）（数乘结合律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(kl)a=k(la)；
（7）（对数乘加法的分配律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(k+l)a=ka+la；
（8）（数乘对加法的分配律）对于任意的k属于K，a,b属于V，有k(a+b)=ka+kb；
实际上我们可以利用（2）~（8）来证明那（1），也就是说（1）并不是独立的公理。 给出新的定义：
定义：设V是一个非空集合，K是一个数域。又设：
（i）（定义加法）在V中定义了一种运算，称为加法。即对V中任意两个元素a和b，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为a+b；
（ii）（定义数乘）在K中的数与V的元素间定义了一种运算，称为数乘。即对V中任意元素a和数域K中任意数k，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为ka；
如果加法与数乘满足下面列出的八条运算法则，那么称V是数域K上的一个线性空间。
（1）（加法结合律）对任意的a,b,c属于V，a+(b+c)=(a+b)+c；
（2）（存在零元）存在一个元素0属于V，使对一切a属于V，有a+0=a；
（3）（存在负元）对任一a属于V，都存在b属于V使a+b=0。
（4）（数乘单位元）数域中的数1，有1*a=a；
（5）（数乘结合律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(kl)a=k(la)；
（6）（对数乘加法的分配律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(k+l)a=ka+la；
（7）（数乘对加法的分配律）对于任意的k属于K，a,b属于V，有k(a+b)=ka+kb；
我们的目的是证明加法的交换律，我们先来证明几个预备定理：
定理-1：零元是唯一的。
证明：设有两个零元o_1,o_2；则 o_1+o_2=o_1 o_2+o_1=o_2 则o_2+o_1+o_1+o_2=o_2+o_1 o_2+o_1+o_2=o_2+o_1 o_1+o_2+o_2+o_1=o_1+o_2 (未证完)
定理0：负元是唯一的，并记a的负元为-a
证明：设b,c均为a的负元，则a+b=0,a+c=0; a+b=a+c 则0+b=0+c 则0b+1b=0c+1c 注：这里虽然用到了定理1，但是定理1的证明是独立于定理0的。 则(0+1)b=(0+1)c 则b=c。
定理1：0a=0；
证明：0a+a=0a+1a=(0+1)a=1a=a； 再两边分别从右边加-a，即0a+a+(-a)=a+(-a)； 所以0a=0。
定理2：(-1)a=-a；
证明：a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0， 故(-1)a=-a。
定理3：(-1)a的负元为a。
证明：-(-1)a=-((-1)a)=(-1)((-1)a)=((-1)(-1)a)=1a=a
现在证明加法交换律：
由（7）我们有：(-1)(a+b)=(-1)a+(-1)b。 在上式右边依次加b, a 则 (-1)(a+b)+b+a = (-1)a+(-1)b+b+a = (-1)a+((-1)b+b)+a = (-1)a+0+a = (-1)a+a = 0。 则(-1)(a+b)的负元为(b+a)，故记b+a=-(-1)(a+b)=(-1)(-1)(a+b)=a+b 故 a+b=b+a。