已知：ai>0，bi>0，∑ai≤1，∑bi≤n，
求证：Π ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( 1 + n ) ^ n
证明：
法一：
只需要考虑∑ai=1，∑bi=n的情况，
因为其他的情况只会使得左边的式子都是变大的。
于是，对于1≤ i ≤n，由柯西不等式：
( n ^ 2 * ai + bi ) ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( 1 + n ) ^ 2
则
Π ( n ^ 2 * ai + bi ) ( 1/ai + 1/bi ) ≥ [ ( 1 + n ) ^ n ]^2
故：如需证明 Π ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( 1 + n ) ^ n
只需证明：Π ( n ^ 2 * ai + bi ) ≤ ( 1 + n ) ^ n
由于ai>0，bi>0，可采取对上式两边取对数，
则只需证：
[ ∑ ln( n ^ 2 * ai + bi ) ] / n ≤ ln( 1 + n )
由于 ln(x) 在R+上为凸，故：
[ ∑ ln( n ^ 2 * ai + bi ) ] / n ≤ ln( ( ∑ ( n ^ 2 * ai + bi ) ) / n)
= ln ( n∑ai + (1/n)∑bi )
= ln ( n + 1 ).
这正是我们所需要的。证毕。
法二：
Π ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( ( 1/ Πai ) ^ ( 1/n ) + ( 1/ Πbi ) ^ ( 1/n ) ) ^ n
所以只要证
( 1/ Πai ) ^ ( 1/n ) + ( 1/ Πbi ) ^ ( 1/n ) ≥ n+1
结合条件，利用均值不等式可得
Π ai ≤ ( 1/n ) ^ ( 1/n ) ,Π bi ≤1
这是我们所希望的。证毕。