最近看到个题,说是,一个人患某个病的概率是 $1%$ ,现在有某个仪器可以检测患这种病的人,但是正确率只有 $99%$ 。问如果某人被检测出患这种病,那么他真正患这种病的概率是多少呢?
这个问题很有意思,我们可以简单更改一下问题的环境,就能找到做科研的价值到底几何。
假设科学事实被发现这个事件为$A$,其发生的概率是$a$,科学家做研究能够发现这个科学事实,这个事件记为为$B$,但是其正确率$P(B|A)$只有$b$。那么问: 在一个科学家声称其发现了某个科学事实的情况下,那么其真正发现科学事实的概率是多少呢?
这个问题只要学过一点概率的人都能算出来,首先 原文题的概率其实是一个条件概率,因为根据贝叶斯公式:
$$ P(A丨B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$
而
$$ P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B | \bar A) =ab+(1-a)(1-b) = 2ab+1-a-b $$
所以: 科学事实真正被发现的概率是:$\frac{ab}{(2ab+1-a-b)}$
如果我们假设 $a=0.01$(这是被放大了的,因为科学事实很难被发现)$b=0.99$(这也是被放大了的,因为我们连学术道德都忽略了),很容易算出,这个概率只有$50%$。
当科学事实的发现概率固定时,这个函数在0至1的开区间内递增。
所以,学术垃圾在以至少大于$50%$的概率产生。
而我,就是其中之一。
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- Scientific Regress: http://www.firstthings.com/article/2016/05/scientific-regress