Rn中的开闭集到真是两个不错的概念， 在R中，闭集上的连续函数有很多优良的性质，例如有界性等。但是开集就不同了，它俩的差距还是蛮大的，仅仅因为两个端点就破坏了原本美好而优良的一种结构。
而在Rn中，有两个特殊的空间：全空间Rn 和 空空间（本人的叫法，实际上就是空集= =），因为只有它们是Rn中即开又闭的。怎么证明呢？ 若S是Rn中的集合，且S既开且闭，我们准备证明S为Rn或空集。 利用连通性可以给出一个一句话证明： 因S是闭集，所以那么Rn-S是开的。于是Rn=S并(Rn-S)是两个不相交的开集的并。根据Rn的连通性知S与Rn中至少有一为空集，故S=Rn或空集。
实际上，道路连通>连通>这个命题。。因此真证明起Rn的连通性，这种证法是比较复杂的。。
我给出另外一个证法。 首先我们证明S的边界是空集。因为S开，S内的点都是内点，所以S内无S的边界点。同理Rn-S内也无S的边界点，因此S的边界为空集。 如果S和Rn-S均非空，则存在x属于S，y属于Rn-S。设L是联结x和y的直线段，则L是有界闭集。设z是L的重点，则z属于S或z属于Rn-S。因而L有子直线段L1分别以S与Rn-S中的点为其端点，依次可构造由L的子直线段组成的有界非空闭集套，L L1 … Li … 其集合半径趋于0.且两端点分别为S和Rn-S中的点。根据闭集套定理，存在唯一的点p属于所有直线段。由边界点的定义可见p属于S的边界，与S的边界为空集相矛盾。证完。