本文希望通过下面这个简单易懂的例子来阐述数学家们为何要将流形理论定义的晦涩以及流形背后的深刻含义，文中一些关键性的概念附上了wikipedia链接，方便快速回忆起它们。
学过定积分的同志们都知道，定积分可以求旋转体的体积，比如圆锥。 学过多元积分的同志们也都知道，求圆锥体积的时候可以用截面圆面积沿圆锥高度变化函数的积分。 到底什么是体积，为什么这两种求法的结果总是相同的？这里博主就介绍一下一般形式对体积计算。
首先，我们需要理解流形的概念。流形是可以类比到$n$维欧式空间的拓扑结构，流形上的每一个点都可以映射到欧式空间中。 我们通常意义上的建立空间直角坐标系，就是将一个几何体一一映射（双射）到了一个三维的欧式空间。把问题转化到欧式空间中是因为欧式空间有很多优良的性质，具体就不阐述了，可以在这个链接中查到相关知识，如果觉得不过瘾可以切换到英文版查看更为详尽的描述。
早期数学家们关心将点集映射到欧式空间中表现出的各种性质，后来数学家们才注意到，研究他们之间的映射会从深层面来揭示这些优良性质产生的原因。
我们知道，直角坐标到柱坐标之间的转化有公式（本质是映射$\phi$）：
$$ \begin{equation} \rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \theta = \begin{cases} 0 & \mbox{if x = 0 and y = 0}\ \arcsin\left( \frac{y}{\rho} \right) & \mbox{if x > 0 or x = 0}\ -\arcsin\left( \frac{y}{\rho} \right) + \pi & \mbox{if x < 0} \end{cases} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} h=z \end{equation} $$
这个映射在三维欧式空间中几乎处处无穷可微，它的逆映射$\phi ^{-1}$可以更加方便的计算各阶微分：
$$ \begin{equation} x = \rho \cos\theta,y = \rho \sin\theta,z = h \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \frac{\partial x}{\partial \rho} = \cos\theta, \frac{\partial x}{\partial \theta} = -\rho\sin\theta \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \frac{\partial y}{\partial \rho} = \sin\theta, \frac{\partial y}{\partial \theta} = \rho\cos\theta \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \frac{\partial z}{\partial \rho} = \frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial h} = \frac{\partial y}{\partial h} = 0, \frac{\partial z}{\partial h} = 1 \end{equation} $$
显然，他们是无穷阶可微分的。 像这种 带有一个可微分映射的流形，我们称其为微分流形。之前提到的圆锥符合这样的条件。（拓扑流形 » 微分流形） 特别地，如果这个映射无穷次可微，则这个微分流形称为光滑流形。 由此我们称圆锥体是一个三维的光滑流形。
我们知道，三维欧式空间中有独特的外积揭示了向量长度、面积与体积间的关系。而在$n$维欧式空间中，推广了这一定义，因此，如果我们将体积定义为外积形式，计算封闭流形的体积则变得易如反掌。
现对圆锥每一个点对应两个向量，即设置两个向量场。根据内积的定义，可以得到每个点对应的两个向量的内积值。这样便获得了一个从流形上的任意点，到实数值的映射关系$R^{3}\to R$。 如果映射关系为一个光滑函数，也就是按各个坐标方向无穷次可微，这个流形称为Riemann流形。由于Riemann流形有一个从点到实数的光滑映射，正好满足光滑流形的定义，因此Riemann流形必为光滑流形。 下面说明圆锥体是一个Riemann流形。 我们设两个向量场，一个向量场平行于y轴，一个向量场平行于z轴，则每一点的内积均为0，为光滑映射。类似的，如果两个向量场是连续可微分的，每点的内积函数也是连续可微的，此即Riemann流形的性质。 而所谓向量场是连续可微的，表示向量场的各个分量的值在流形上连续可微。 于是： 拓扑流形 » 微分流形 » 光滑流形 » Riemann流形
Riemann流形上的体积单位被定义为：
$$ \begin{equation} w = \sqrt{|det(g)|}dx^1 \land dx^2 \land … \land dx^n \end{equation} $$
其中$g$为度量张量，度量张量定义了流形上沿各个坐标方向张量的向量之间的内积：
$$ \begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}, \sum_{j=1}^{n}b_{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}} \mapsto \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \end{equation} $$
在这个式子中，含偏导的部分表示沿坐标方向的单位向量，映射结果为内积结果。 我们知道，同方向的两个单位向量的内积为1，同方向的两个向量内积为他们模的乘积。而正交的两个向量的内积永远为0，这也就是张量矩阵（3x3单位矩阵）中的六个0的来历。 因此，度量张量给出了各个方向内积向量之间内积计算的一般法则，我们使用模无穷小的微分向量$dx,dy$，内积计算表达式依然成立。
$$ \begin{equation} dx\cdot dy = g_{xy}\times|dx||dy| \end{equation} $$
于是，可以利用Riemann流形的可微性来计算其他形式的度量张量。 首先，我们来柱坐标系的度量张量。注意到直角坐标系和柱坐标系两个系统均为Riemann流形，因此可以利用他们之间的可微映射，我们把他们之间的映射写成微分向量的形式，并表述为矩阵形式：
$$ \begin{equation} \left( \begin{array}{c} dx \ dy \ dz \ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \rho\cos\theta &0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} d\rho \ d\theta \ dh \ \end{array} \right) \end{equation} $$
我们知道：
$$ \begin{equation} J = \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \rho\cos\theta &0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{array} \right) \end{equation} $$
即为三维直角坐标系到柱坐标系的Jacob矩阵。Jacob矩阵定义了两组基底微分向量之间的线性变换，且满秩，即可逆。也就是说，从三维直角坐标系到柱坐标系是一个双射。 值得一提的是，
$$ \begin{equation} \left( \begin{array}{c} dx \ dy \ dz \ \end{array} \right) \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \left( \begin{array}{c} d\rho \ d\theta \ dh \ \end{array} \right) \end{equation} $$
是同一个向量在不同坐标系中的不同表述，因此，自身的内积必定相等：
$$ \begin{equation} (dx,dy,dz)g_{xyz}\left( \begin{array}{c} dx \ dy \ dz \ \end{array} \right) = (d\rho,d\theta,dh) g_{\rho\theta h} \left( \begin{array}{c} d\rho \ d\theta \ dh \ \end{array} \right) \end{equation} $$
于是：
$$ \begin{equation} g_{\rho\theta h} = J^{T}g_{\rho\theta h}J = J^{T}J \end{equation} $$
这样便得到了柱坐标系的度量张量。 度量张量的表达式形式随坐标的选取而变化。但是，对于同一个Riemann流形，他们定义的内积法则是一致的。Riemann流形上同一点处的两向量的内积是一个不变量，其值不随坐标的选取而变化。因此，在圆锥内部度量张量均为定值。 我们回到Riemann流形上体积形式的定义，于是需要计算度量张量的行列式的值（显然，度量张量的行列式为Jacob行列式值的平方）：
$$ \begin{equation} w = \sqrt{det(J^{T}J) d\rho \land d\theta \land dh} = det(J) d\rho \land d\theta \land dh \end{equation} $$
而$det(J)=\rho$再简单不过了。 最后，我们得到Riemann流形上柱坐标系的体积形式：$w=\rho d\rho \land d\theta \land dh$，它定义了流形上一个无穷小立方体的体积。 这个无穷小的立方体由外积来表示。无穷多个小立方体最终组成了整个封闭流形。 自然的，对所有的小立方体求和（积分），便定义了整个封闭流形的体积：
$$ \begin{equation} V = \int_{M}w = \int_{M}\rho d\rho \land d\theta \land dh \end{equation} $$