已知：ai>0，bi>0，∑ai≤1，∑bi≤n， 求证：Π ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( 1 + n ) ^ n 证明： 法一： 只需要考虑∑ai=1，∑bi=n的情况， 因为其他的情况只会使得左边的式子都是变大的。 于是，对于1≤ i ≤n，由柯西不等式： ( n ^ 2 * ai + bi ) ( 1/ai + 1/bi ) ≥ ( 1 + n ) ^ 2 则 Π ( n ^ 2 * ai + bi ) ( 1/ai + 1/bi ) ≥ [ ( 1 + n ) ^ n ]^2

核辐射没那么可怕，即使这次日本地震导致同时爆炸了16个日本的核电站，平均每个核电站辐射到中国的强度是0.036mr/h，方差为0.0081，度娘告诉我：在中国的你如果受到了强度超过0.5mr的辐射时，马克思便向你伸出了右手。 我们来看看马克思向你伸出右手的概率究竟有多大： 用X_i表示第i个核电站的辐射量(mr/h)，则X_i的数学期望是μ＝0.036，方差σ^2＝0.0081，并且S_n＝X_1+X_2+…+X_16是n＝16个核电站的辐射量，度娘说了，P(S_n>0.5)才行。认为{X_i}独立分布时，根据中心极限定理，ξ_n＝(S_n－nμ)/sqrt(nσ^2)，近似服从N(0,1)分布，于是： P(S_n>0.5) ＝P（(S_n－nμ)/sqrt(nσ^2)＞(0.5－nμ)/sqrt(nσ^2)） ＝P（ξ_n＞(0.5－160.036)/sqrt(160.0081)） ＝P（ξ_n＞－0.211） ≈φ(0.211)＝0.58。 可以看出，即使是16个核电站爆炸也不过才58％的概率使得马克思冲你微笑。所以，你懂的～

问题：某傻逼有本金a元，决心再赢b元停止赌博。设这个傻逼每局赢的概率是p=1/2，每局输赢都是一块钱，傻逼输光就不赌了，求傻逼输光的概率q(a)。 解：用A表示这个傻逼第一局赢，用B_k表示甲有本金k元时最后输光。由题意，q(0)=1，q(a+b)=0,并且 q(k) =P(B_k) =P(A)P(B_k|A)+P(非A)P(B_k|非A) =P(B_k+1)/2+P(B_k-1)/2 =q(k+1)/2+q(k-1)/2 于是有2q(k)=q(k+1)+q(k-1)，从而 q(k+1)-q(k)=q(k)-q(k-1)=…=q(1)-q(0)=q(1)-1. 上式两边对k=n-1,n-2,…,0求和后得到 q(n)-1=n[q(1)-1]. 取n=a+b,得到 0-1=(a+b)[q(1)-1],q(1)-1=-1/(a+b). 由q(n)-1=n[q(1)-1]得到 q(a)=1+a(q(1)-1)=1-a/(a+b)=b/(a+b). 上式说明，当a本金有限，则贪心b越大，输光的概率越大。如果一直赌下去(b->infinity)，必定输光。

凌晨。半透明的思绪、 得到闺蜜开始谈婚论嫁的消息。她要跟那个男人结婚了。 那个第一次去她女朋友家里吃完饭甩手就走的男人。 那个手机电脑PSP全部设密码的男人。 那个曾经一度让我们灰心丧气的男人。 那个我们曾经一听见她的委屈，就愤愤地恨不得让她离开他的男人。 有很多次，委屈的她刚流过眼泪，喝完粥，听见他来楼下接她，就微笑着说，我原谅他了。我走了。 她就那样轻轻地原谅了他，恍若什么事情也不曾发生过。留下我们愤愤，她却一如既往。 没有一个男人，不是在一个女人的怀抱里长大的。他的狂躁，他的冷漠，他的不安分，他的稚气，皆是靠一个女人抹去。 而如今他们居然要修成正果——时光，真是一件不可思议的事情。 现在，他会把工资卡交给他，说老婆，这就是家用了。 他会在周末的时候，去买菜做饭洗碗收拾厨房，然后说：老婆平时辛苦了，今天我来做。 他会带她去厦门，去香港，去看电影，去购物，说：十万块娶这样一个老婆，很划算。 他会把他过往的故事告诉她，虽然，闺蜜还是介意他曾经的故事——与其说是介意不如说是嫉妒，因为知晓，他再也不可能为一个女人，痴狂到那个地步。 虽然，他还是爱在家里抽烟。还是一玩起MAC就视未婚妻如空气。 但是，已经很好很好了。哪个女人曾指望自己的丈夫要完美得像个米开朗琪罗手底下的画像呢。 谁都会有被收服的一天。一物降一物。 一个男人在结婚的时候相比起刚牵手的时候判若两人。是身边这个女人的御夫术有多厉害？不觉得。是身边这个女人貌美如天仙？谈不上。 相比起厉害，相比起容貌，更多的，是善良与智慧，是包容与尊重。 若说非要是什么让人得以改变——是相处，是时光，是年华流逝之间，渐生的情感，是磨合后心生的感恩。 是他静静地说的那句：我不会在一开始，就莫名其妙地对一个女人好。 其实我们早该明白，这年头，在谈恋爱这件事面前，谁都不是善男信女。 在这件事面前，你我最阴暗的一面都会显现出来。功利，算计，欺骗，对比——谁都不会再傻到在一开始就一颗心丢过去。 恋爱需要有那么多的时间，精力，物质的投入，还要考虑回报率。 谁也不会在刚开始谁要对谁有多好，要对谁把心扉毫无保留的敞开。 谁也不会傻到三天后就开始把对方的照片或是身份，明晃晃地挂在空间里昭示那就是我的男/女朋友。 在一起的时候那些内容算是幸福，分手了立马变成笑话。 多么好笑，多么辛酸，恋爱变成一场无间道。 为什么。因为，你，我，都不是没有爱过的，讲白了，做事都靠个经验二字。 ——变故。你我怕的是变故。 怕时间积累的不够多，怕爱的不够深，怕烟花一散去满地皆疮痍——怕得最多的，是不够了解而产生的变故。 此年，什么都需要成本，恋爱最是。 可还是有一天，你，我，站在时光的镜子面前，你我各自面目全非。 你会发现，某个人，没有你想象中那么好；某个人，没有你想象中那么坏。谁都不容易。 最开始的小人模样，不过是为了避免让自己受伤。 如同我，我相信那还是个善良的姑娘，那还是个柔软的姑娘，只是多了一层坚硬的，不那么光彩的，看起来嚣张戾气与精明世故的壳。 心有多软，壳就要有多硬，不然漫漫人生路如何走得下去。 如今有几个人不是从青春期就开始谈恋爱。 可有多少不是一开始就结束。坚持到底的又能有几个。 谈不上深爱，最好看的，也不过是跑一场爱情马拉松，几年过后，虽然知道还是挂牵，虽然知道还是爱恋，可最后还是一夜之间你娶了别的女人，我就立马嫁了别的男人。 我们在经历一个速食爱情和快餐婚姻的年代。 分开得越来越快的原因，是因为，没有时间与耐心了解一个人。更没有时间去原谅与守候一个人。 在他蜕变成我们的perfect couple，完美恋人&灵魂知己之前，我们就等不及离开了他们。 经营爱情如掘井，需要足够时间去探索，去挖掘，去守候，去等待，去流泪，去坚持，去相信。 可是恰恰如今我们什么都不缺，最缺的就是时间。有时间偷菜却不曾有时间去认认真真了解一个人。 比时间更缺的是去了解的一个人的欲望与心情。为什么，还是怕。 怕千山万水地走过去，却发现对面的那颗心看似金光闪闪，实则荒野一片。 失望是比受伤，更让人痛苦的事情。 从此全天下的人都在寄希望于缘分，寄希望于一见钟情，继续相信有perfect couple和soul mate的存在。每天打扮得光鲜亮丽，希望转角就遇到爱。 呵呵，完美伴侣。灵魂知己。多么美丽的词汇，那都是我们曾今的念想：那个男人要如何如何，女人要如何如何，一切都要为我们而生。 可就这样渐渐懂得了，若不曾携手走过一段路，何以携手走一生。 不是男人买好房子车子就能够招得来好女人，也不是女人整好了鼻子削尖了下巴就可以绑得住好男人。 拎包入住与天生一对这两个词，在婚姻里，都是不靠谱的代名词。 有些事情终如美玉，需要打磨得以完美示人。 有些人们终如玫瑰，需要一层一层剥下去，才发现他/她的心。 前几天，有人问我：你还相信爱情吗。 一瞬间我真的不知道该怎么回答。 若说不相信——我只是真的不相信海市蜃楼，不相信金童玉女，不相信山盟海誓。这个世界，岁月最珍贵，眼睛最骗人。 我不相信，只是因为我也是站在人渣肩膀上成长起来的好姑娘。 我相信，只是因为比起爱情我更相信感情二字。相信那些相濡以沫与子偕老，千回百转终成正果的事情。 从烟花到烟火，你用了几年。 我想你们在婚礼上，应该发表的获证感言是：感谢误会，感谢分歧，感谢争吵，感谢偏执，感谢横眉，感谢没有分手。 从遇见到接受，从磨合到改变，从烟花火到长相守，你们还是走了一条千山万水的路。 天下女子或是男子若求的只是一个玩伴，一个恋人，那尽管敷衍。按年龄身高体重月薪星座去寻，容易得狠。 你若是求得是风雨同舟，求得是心心相印，求得是秉烛夜谈，求得是夫唱妇随，求得是恩爱夫妻共白首，就不要以为爱是一见钟情门当户对就可以天长地久的事情。 如不曾经历千回百转，你不会懂得，中途那般多的枝枝蔓蔓，需要的，是你与他留在时光里的披荆斩棘与披星戴月.

作者: 许嵩 我伸了一下懒腰，望着窗外阴暗的天。快要下雨了，而此时已近黄昏。 心情不错。是的，我搬家了。 桌前放着一本书，其中的一章，标题赫然是《把伤痕当酒窝》。正当我准备看看这个标题背后的内容时，父亲叫我：出去找一个拾废品的人来，家里正有一堆没用的旧东西。 下了楼，我走在一条极其平凡的街道上。一些高雅人士所鄙薄的低俗人等，全部在这条街上济济一堂，先是五家大排档，然后是一排小吃摊，再过去就是农贸市场。这些人有时的确粗俗，譬如他们的三轮车撞到你却不说对不起只是表情怪异的一笑；譬如你买东西跟他们讨价还价到最后他们会蛮横的说，我不卖了。后来我渐渐想通，前者是因为他们还没学会城里繁琐的礼貌用语，因此他们只能投以抱歉的微笑，但是这一笑遭遇到了城市人翘起的嘴角和傲慢的眼神，所以这个笑容顿时变味；后者更好理解，因为城市人砍下的价格已然超过了他们接受的底线。 一个老人缓缓的从我身边走过。一手牵着条狗，另一只手里搓着健身球，背部倔强的挺直，眼角流露出幽默的笑意。 这种笑意的内涵，正由这条平凡的街道默默的注释着。 拾破烂的终于在这里被我搜索到。这位老人头发全白，我很少看见如此纯粹的白了，一种慈祥的感觉洋溢在他的脸上。他的身后，悠悠然跟着一个孩子，这是老人的孙子。 天更暗了，一些雨点开始打落在我们的脸上，我们三个默然前行，再也没有说话。 到家了。老人嘱咐孩子等着，然后随我上楼。进门时我发现老人的鞋子很脏，我不希望他将泥土带进我的新家。老人似乎明白，脱下鞋子，赤着脚进来。虽然这时早已立秋，天气转凉。 父亲让他稍坐，便进房里整理废品，只剩我和他孤坐客厅。忽然想起晚上我要上课，便丢下老人自己到房里穿戴整齐。 然后准备出发。我觉得我应该戴上手表。一个中学生的时间，若不珍惜，很容易从指尖溜走。 这时老人已把东西弄好，付了钱，准备走。父亲见外面雨大，便让他稍作歇息。他没推辞，便和父亲随便聊聊。 他的孙子的父母死了。孙子八岁，还没上学。此时，他们还没吃饭。 托尔斯泰说幸福的家庭总是相似，而不幸的家庭却各有各的不幸。我认为恰恰相反。富裕的家庭能营造不同的环境，所以多样；不幸的家庭总是相似，因为单一。 他们说这些话的时候，我在找我的手表。我很不愿意这样想，老人拿了我的手表。因为有两个证据：其一，我记得我的表就放在老人坐的椅子旁边；其二，老人的裤子口袋里露出一截银光闪闪的东西，我想那是我的表带！ 我不鄙视穷人，但是穷人要是不知自重，我们也不必怜悯。而且我没有时间等了。想到这儿，我很有风度地说，老人，请还给我，我的手表。 我认为这是我平生说过的最委婉的一句话，能把对他的伤害降到最低限度。我之所以这样做，因为我想他可能只是一时糊涂，顺手牵羊，我们不必大动干戈。 老人看看我，忧伤的沉默。我想他一定为他罪行的败露感到可耻。 然而父亲还没懂得我的意思，竟然问我，你在说什么？我很平静的重复了一遍。 父亲责令我住嘴。然后令我把他的包拿来，我知道事情可能会有点微妙的变化。 打开包，我的手表。原来父亲今天上班时看见我的表不走了，就拿去表店换了一块电池。 我何以那么草率的认为是老人拿了手表呢？我说我不鄙视他们，然而骨子里对他们还是信任不过的。是的，我以小人之心，度君子之腹了。 正当我准备道歉，老人笑了。这种幽默的笑意，似曾相识。我不知道他为什么而笑，这种笑意的内涵，正由他伸向裤子口袋的手默默的注释。他掏出来了，不是我认为的“表带”，只是一个不锈钢的勺子！ 我不知道我的话对他造成了多少伤害。对于一个贫穷的人，最大的侮辱莫过于说他用不正当的手段去摆脱贫穷。 然而我对他的这种伤害，被他化为了一个笑容。 《把伤痕当酒窝》这篇文章我还没看，但是我已经找到了最好的解释。 雨更加大了，祖孙俩推着车子一路小跑。天空升起了一颗早熟的星星，而那黑夜，也在重重的幕帘后面静静的注视着一切，不忍心走来。

问：装备锻造，一共有10层，每次成功的几率为50%，成功升1层，失败降1层，1层时不再下降。那么玩家平均锻造到10层一共需要锻造多少次？ 解：这个是个概率转移问题 也就是问题有10个状态,对应10层,开始在第1层,如果到达第10层则终止. 我们假设如果处于第k层,那么需要平均a(k)次才能够转移到第10层 于是a(10)=0,而对于k>2,a(k)=1+1/2(a(k+1)+a(k-1)) 我们只要求解这个递推数列即可。 而特征方程是x^2-2x+1=0 所以a(k)=a+bk+ck^2 得到 a(k)=90+k-k^2 于是a(1)=a(0)=90 推广一下到n层的. 于是递推式为a+bk+ck^2,满足 a=a+b+c (也就是a(0)=a(1)) a+b+c=a+b2+c2^2+2(也就是a(1)=2+a(2)) a+bn+cn^2=0 所以a=n^2-n,b=1,c=-1 也就是a(0)=n^2-n,这个是n层的结果.如果11层,的确结果就是110了。

记住了，告诉你为什么做不完高考数学，所以不必过于内疚。­ 我们做一个简单的统计分析：­ 解：­ 一套高考数学试卷拥有的文字量，通常要求命者控制在2000个印刷符号左右，一般情况下，我们能每分钟阅读300～400个印刷符号的速度审题，这样读完一套试卷约需花5～7分钟，考虑到有些题目冷僻晦涩，需要反复阅读、多层理解、多次体悟，才有可能断明题意，实际阅读完转数学试卷需要12分钟左右。­ 书写主要用于解答题，一份数学试卷完整地写出解答过程，大约要写3000个印刷符号左右，通常情况下，我们的书写速度是每分钟150个印刷符号左右，这样解答一份试卷的书写时间约需20分钟。如此就一套高考数学试卷而言，我们看清并理解题目的意思后，直接抄写标准答案将近要花去32分钟，数学高考时间是120分钟，于是留给我们探究思索、发现思路、估算精算、文字组织和复查检验等时间约88分钟；通常一套试卷拥有20～23道题，其中最后几道题的设置一般不止给出一个问题，因此，整个试卷就会有26～30个问题。­ 因此，我们解答每个问题平均只有约3分钟时间。­ 解毕。­

定义N(a,b) = {a + nb| n∈Z}，例如N(1,3)就等于{…, -5, -2, 1, 4, 7, …}。每一个N(a,b)实质上都是一个以b为公差的“双向无限等差数列”。我们说整数集Z上的一个子集S是开的，如果集合S为空，或者对于任意一个a∈S，总能找到一个b>0使得N(a,b)⊆S。形象地说，开集的意思就是，集合中的每一个元素都能在集合内扩展出一个无限长的双向等差数列。我们又称一个集合S是闭的，如果它是某个开集的补集。 显然，有限个开集的并集仍然是开集。 假设S_1和S_2都是开集，如果a∈S_1∩S_2，并且N(a,b1)⊆S_1，N(a,b2)⊆S_2，那么S_1∩S_2中有一个公差为b1b2的含a的双向无限等差数列，也即a∈N(a, b1b2)⊆S_1∩S_2。这说明，有限个开集的交集仍然是开集。 再假设C_1和C_2都是闭集。由De Morgan定律，C_1和C_2的并集就相等于它们各自的补集相交后再取补集，由定义可知它们的补集都是开集，而由上面的结论可知开集的交集仍是开集。于是，C_1和C_2的并集是某个开集的补集，这说明闭集的并仍然是闭集。类似地，闭集的交集相当于补集的并集的补集，它也仍然是闭的。 还有两点值得引起我们注意： 任意非空开集都是无穷的。这由定义可以直接看出来。 任一双向无限等差数列N(a,b)既是开集又是闭集。由定义可知N(a,b)是开集，而同时N(a,b)又可以看作是N(a+1,b)∪N(a+2,b)∪N(a+3,b)∪…∪N(a+b-1,b)的补集，这是有限个开集的并集的补集，说明N(a,b)也是闭集。 好了，准备工作完成，下面我们开始证明素数是无穷多的。除了1和-1以外，每一个整数都有至少一个素因子，因此它们都包含在∪N(0,p)中（其中p取遍所有的素数）。把全体素数的集合记为P，于是我们有： Z \ {1, -1} = ∪N(0,p), p∈P 现在，假如素数集合P是有限的，那么等式右边就是有限个闭集的并，它仍然是闭集；这样的话，它的补集{1, -1}就应该一个开集。然而，一个开集要么是空的，要么就是无穷的，这与{1, -1}是开集矛盾。

人品守恒定律在数学上用连续方程表示。假若考虑某一确定区域 $V$，其边界为闭合曲面 $S$。 当童鞋们游荡与各地之间时，有可能有人进入或者流出该区域。根据人品守恒定律，如果有人从该区域流出的话，区域 $V$ 内的人品必然减少，通过界面流出的人品应该等于V内的人品减少率，即： $$ \oint_{S}{\overrightarrow{J_{rp}}d\overrightarrow{S}} = -\int_{V}{ \frac{\partial \rho_{rp}}{\partial t} dV} $$ 式中，$J_{rp}$为人品流密度，$\rho_{rp}$为人品密度。 这是人品守恒定律的积分形式，应用高斯定理把面积分化为体积分： $$ \oint_{S}{\overrightarrow{J_{rp}}d\overrightarrow{S}}=\int_{V}{\nabla \overrightarrow{J_{rp}}dV} $$ 即得微分形式： $$ \nabla\overrightarrow{J_{rp}}+\frac{\partial\rho_{rp}}{\partial t} = 0 $$ 上式称为人品流连续方程，他是人品守恒定律的微分形式。 若V为全空间，即整个空间，S为包络所有的小区域的曲面，由于在S上没有人品流流入或流出，因而第一个式子的左边面积分为零，由此得出： $$ \frac{d}{dt} \int_{V}{\rho_{rp}dV}=0 $$ 表示全空间内的人品守恒。

我是那种不被人理解的人，注定了我属于那种没有朋友的存在。 我所喜欢的数学呢，我和他的关系就好比一对男女，我喜欢它，而它不喜欢我，并且还伤害我。这样我还怎么喜欢它呢？