所谓良序原理事实上就是这么个东西：任何集合上都可以构建一个良序关系。 一、所谓那些良基性质。 良基的性质是很有用的。我们都知道数学归纳法，但是数学归纳法只能归纳下标为自然数的东西； 而用良基的性质，就可以弄出来更强大的transfinite induction（超限归纳法），可以归纳下标为任意序数的东西。 一个良基的全序关系就叫良序关系。常见的实数上的≤就是良序关系。 超限归纳法：令“＜”为集盒W上的一个严格良序关系，phi(w)是关于某w∈W的一个性质。 如果对于所有w，都满足：“假如对所有x＜w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”，那么对于所有w∈W，phi(w)都必为真。 这个跟我们所熟悉的数学归纳法有点不同，但是也有相似的地方。证明如下： 已知对于所有w，都满足：“假如对所有x小于w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”。 假设存在一个w_0其phi(w_0)为假，那么必有w_1＜w_0其phi(w_1)为假…如此下去， {w: phi(w)为假}这个集盒就没有最小的元素，违反了良基性质。证完。 用超限归纳法，我们就可以对一个函数进行recursive definition（递归定义）， 即f(x)的值由x和{有序对<x',f(x')>: x'＜x} 共同来定义。 即，我们递归地定义一个G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})，再令f(x)=G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})。 这是可以通过良序性和超限归纳法做到的。 可以证明以下三种情况必有且只有一种为真： {x: x<w}在f的定义域里且f(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})； {x: x<w}在f的定义域里但w不在f的定义域里，且G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})未定义； w不在f的定义域里且存在一个x＜w也不在f的定义域里。 证明如下： 如果一个定义域为W的子集的函数 h 符合 “w ∈ Dom(h) => 所有＜w 的 w'∈Dom(h)， 且 h(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})” 我们就把 h 叫做一个 “好”的函数。 用超限归纳法易得：如果 h 和 h' 都是好的，且w 在它们定义域的交集里，那么必有h(w)=h'(w)。 所以，令 f 为所有的好的函数的并集（即，只有有一个好的函数h的定义域包含了w，就有f(w)=h(w)），则 f 自己也是一个好的函数。

前言 这篇小说是高一下学期我和高中同学补子畅两人一起合写的一本生化危机类题材的小说，后来他决定不写的时候，我曾经纠结过一段时间要不要继续写下去，但后来由于学业的关系最终还是放弃了。 关于整片小说的设定，是基于我土生土长的县城「芷江」构建的。例如小说中的「步行街」、「一中」等等，都是真实存在的。男主角的名字一开始他就说定为「欧龙崎」，也不知道后来我怎么同意的来着。总而言之，我现在搬运出来就纯粹当做是一种对自己年轻时的那种创造力表示致敬吧。 第一话 入学（1） 2222－2－20 9：00 “嗷～”欧龙崎打了个大大的哈欠。 单手支撑着脑袋，隔着厚厚的安全玻璃看着磁悬浮列车外的景色。一个晚上的奔波，欧龙崎终于控制不住自己的脑袋，整个头很快的垂了下去，可惜由于重心不稳再加上万有引力的作用。欧龙崎的脑袋重重地撞在了连子弹都打不穿的强化玻璃上。 “啊…”欧龙崎这一叫似乎引起了其他乘客的不满，纷纷看着他。欧龙崎也很不好意思地闭上了嘴揉着前额闷叫着。 稍微舒服了点后，欧龙崎这才发现离江芷县只有不到5分钟的路程了，他从随身携带的包里拿出了一个长方形的东西…一面粉红色的镜子。 欧龙崎拿着镜子左看看右看看，最后满意地合上了镜子。“这个小伙子还是蛮帅的嘛…”欧龙崎自恋道。 旁边的乘客悲剧的瞪的瞪眼，呕吐的呕吐，无视的无视，恨不得马上和这个小伙说永别。但是仔细一看，其实他也说的不假，人长得的确有那么几分帅气，标准而修长的脸，当今最流行的侧分头遮住了一只眼睛，另一只半睁的眼睛透露出冷酷，但同时也隐隐透露了一颗坚强的心。 5分钟后，悬浮列车停在了【江芷市】。 “各位乘客，你们的目的地已经到达。请携带好行李下站，切勿遗忘贵重物品……”甜美的女声从车内的广播中放出。 人潮涌动……这是欧龙崎下车后的第一印象，没想到一个偏僻的城市的生活水平会这么高啊。 从身上摸出一张卡片来，上面记录的是一个地址。准确地说，是自己的家在哪。 “【爵迹社区】12栋1923号？”什么鬼地方，没有任何印象。 拦下一辆出租车后把卡片递给司机看了一眼后就放回了挎包中。 奇怪，很奇怪。非常奇怪。 为什么老妈叫我到这里来读书？还抓着自己的把柄要挟自己说如果不答应就把自己的一些“英勇事迹”告诉小丽。没有办法，在老妈的要挟以及那一叠令人流口水的票子下，欧龙崎心动了。反正哪读书都是一样，有奖励何乐而不为？就这样，欧龙崎被他阴险狡猾的老妈推上了车。更可恶的是，一开始还以为是和老妈一起来。可谁知道老妈告诉他只有他一个人来的时候他气的险些吐血，他很怀疑老妈是不是没有事做故意整自己。欧龙崎阴着脸接过了一串钥匙和一张卡片，然后听着老妈的嘱咐……当他听见他们家在江芷居然有一套房子时他惊讶了，自己根本就没听说过江芷，又怎么会有房子？这一点让欧龙崎很怀疑，最后老妈用一堆的诱惑给糊弄了过去。现在再想想…很值得怀疑这是不是一个陷阱。 最后老妈看自己的眼神很是奇怪，怎么像是送别战士一样？呸…看来是自己想多了，上学又不是送死，搞那么恶心做什么啊。 … 看着眼前一栋栋高层的公寓，欧龙崎眼花了。 进入到12栋的电梯后…欧龙崎愣了愣，因为他发现他居然不知道自己到底该去几楼…当然聪明的他很快就注意到了房间名的特点，十九层，二十三号房间。 欧龙崎在众人的眼中尴尬地按下了最中间的楼层。 打开房门，干净的布局让欧龙崎一阵恶寒。这到底是谁打扫的？小心翼翼地打开电灯，亮了！有电。打开水龙头，有水！打开冰箱，靠，居然还有食物！而且是绝对新鲜的。 太强大了！老妈是不是脑子坏掉了？居然给这么好的条件来读书，现在欧龙崎不得不怀疑他老妈的智商起来。 欧龙崎这才发现他现在应该去报名了，可是依照他自己的生活习惯来看……那是不可能的！ 先玩他个半天再说。 江芷第一中学，全省5强中学，毕业的学生多数进入了各大医学、生物系的大学，而且大学毕业后就职率非常高，这样江芷一中就受到了很多望子成龙望女成凤的家长们的青睐。在欧龙崎眼里这就是一个普普通通的高中嘛，真不知道为什么一定要到这里来，真是的，连美女都没见到。 中午学校的人流真是不少，可唯一不入流的就是一位跨着挎包的的少年站在校门口东张西望，连保安都很怀疑他有什么不良的企图。 其实他真的有不良的企图…为了丰富自己的新高中生活，欧龙崎首先得看看这学校有没有看得入眼的雌性动物了。 眼睛瞥了瞥一位背面不错的女生…可是当她转过身来时欧龙崎震惊了…她的容貌不能用语言来形容。欧龙崎曾经看过一本《21～23世纪美女大全》那本书上排行第一人欧龙崎看了后久久不能入眠，连半夜都会被惊醒，然后整夜失眠。这种状况一直持续了一个多月，直到老妈带自己去看过了心理医生后才渐渐好转……欧龙崎现在回忆起了那位绝世大美女的名字了…她就叫凤姐，是200多年前的人。想起凤姐那惊天的笑容，欧龙崎感到一阵头皮发麻。看见眼前这位能与凤姐媲美的人后欧龙崎连忙转移目光。 突然，欧龙崎听见一声尖叫— “别跑！把钱包还给我！” 寻着声源看去，只见两个女生追逐着一个黑影，两旁的人纷纷让道，生怕惹火上身。两个女生明显跑不过黑影，双方的距离越拉越大。 抢劫？欧龙崎眼角微微一咪，在现在这个社会上还能看到抢劫不知是社会的失败还是当事人的失败。不过，唯一肯定的是。欧龙崎是要追上去的。 众人只见一少年以惊人的速度开始追逐着黑影。欧龙崎也不急，他与黑影一齐跑了起来。他看了看黑影，对方明显也是一位高中生，略微发胖，脸上冒出不少汗水来。欧龙崎暗自摇了摇头为眼前这个人而感到惋惜，年纪轻轻的为什么要干这种违法乱纪的事啊。 对方也明显发现了欧龙崎，脸上露出了惊讶的表情。欧龙崎微微点头笑道“这位兄台，失礼了。”话闭，没等这人反应过来，欧龙崎以惊人的速度单手撑地对着那人的腿部就是一扫。随后那人以一个标准的恶虎扑食动作与大地做了一个亲密接触，欧龙崎起身拍了拍手捡起甩落在不远的粉色钱包，再坐在这人的腰部上面使其不得逃跑。 “大哥，放了我把，我错了…哎哟…”欧龙崎加重了力道，疼得这位大叫起来。 欧龙崎目光转到钱包上时……发现钱包夹层里有一张裸.照…不，准确的说是一个没穿衣服的婴儿的照片。（想歪了的通通面壁…） 没等欧龙崎反应过来，钱包就被劈手夺过。抬头一看，一位真正属于美女级的人物正怒视自己。不过…好像这位美女的心情不太好。 欧龙崎一把拎起趴在地上的那人对着女生说道“说吧，怎么处置他。” “张闪，你又来这招是什么意思？”女生的口气很不客气，像是审问一个犯人，不过这人的处境确实是个犯人。“作为一个表哥，不好好做榜样，整天只知道玩网络游戏，玩玩就算了，居然你还要耗费资金去玩。你用钱玩也就算了，你居然找要钱，你就不知道找你妈去要啊。找我要不到就抢是吧？” 围观的人越来越多，这个叫张闪的人明显底气不足“那个…” 欧龙崎这才明白是别人家务事，自己不好插手，于是就把张闪放开准备闪人。 “你别走。”女生冷冷道。 “嗯？”桃花运来了？英勇出手获得了美人的芳心？就这么简单？欧龙崎转身过去后愣住了。 只见女生手里拿着一瓶矿泉水全部倒在了欧龙崎头上，因为不够高，还是掂着脚倒的。 一阵清凉从头部向下延伸，旁边围观的学生都窃笑了起来。欧龙崎那脆弱心被现实彻底击碎… “这就是惹到本姑娘的后果，哼，小娜我们走。”说完拉着在一旁发愣的女生走开了。 欧龙崎擦了擦湿透了的头，郁闷地想到。我惹他什么了？难道是那张照片？想到着欧龙崎嘴角抽了抽，这女生没病吧，看上去挺正常的，还很漂亮嘛。 人群渐渐散去，一只手递过来了一张餐巾纸。欧龙崎想也没想就接了过来，仔细想想又不对劲。扭头看去，原来是张闪一脸暧昧地看着自己。 “干什么？”欧龙崎被看得心里有点不舒服起来，连忙后退了几步。 “这位大哥，你身手太好了，我太膜拜你了！”张闪激动地差点跪了下来。 “咳咳…很简单的几个招式嘛…不怎么样的…”欧龙崎被吓了一跳，生怕张闪跪下来于是赶忙扶住了他，看他那势头，真的有可能跪下。 “不！”张闪突然抬起头，两眼放光，像壮士一般地道“从你的身手看来你不是一般人。从开始我就一直默默地观察着你，兄台，看你骨骼硬朗，是练功的好料，只要打通仁督二脉前途无可限量。我这里有几本武功秘籍，有助于你打通经脉，只要100元本………诶…别走啊！” 第二话　入学（2） 2222－2－20 13：00 “大哥，买一本吧…”张闪苦苦哀求，他死死地拽着龙崎的衣角。 “给我找一件可以换的衣服，我还可以考虑考虑。”龙崎感到身上的衣服穿着越来越冷，不得不提出这个要求，况且本来就是因为眼前这个人造成的。龙崎缩了缩身体向学校走去。 “好好…到学校去我把我先付借你穿…”张闪暗淡如灰的眼睛里闪过一丝精光，连忙跟着龙崎向学校走去。 “那个…你哪个班的啊…我怎么不记得以前有见过你啊。”张闪问道。 龙崎缩了缩身子道。“我今天才转学过来的，没想到第一天就发生这么倒霉的事啊。” “新来的？” “是啊”龙崎回答道。 没有人注意道张闪的眼睛转了转“那个，我还有事…我就先走了啊…” “喂！”没等欧龙崎叫住张闪，那小子就闪得没影了。自己可还是全身上下湿透了的啊…啊嘁…看来这大春天得感冒了。龙崎拖着那沉重的步伐向学校走去。 “砰砰砰…”欧龙崎好不容易找到了校长室，可是敲了半天都没人，这可害惨了欧龙崎，他那浸湿的衣服虽然强了不少，可是等一阵春风吹过后他连上下的牙齿都开始打架了。话说，这校长人跑到那里去了？龙崎冷的只好缩到墙角用挎包挡住了一点风。 “请问你找谁？”一个发音不太标准的声音从欧龙崎的头顶响起。 龙崎抬起头看见的是一位老人，这位老人满头银发。标准的西方式的脸上露出一丝慈祥的微笑，圆弧般完美的驼背曲线，一身洗的有些泛白的黑色西装。 欧龙崎看着这个老人忽然的感觉到浑身的不自在，紧张得直挠头。 “那个…我找校长…”欧龙崎紧张地对着这个老人道。 “噢？我就是这里的校长…”校长一边说一边打开了校长室的门“请进吧，看你也挺冷的。很抱歉，我这里也没什么东西可以取暖的，你就先披上我的衣服吧。”校长从一旁的衣架上取下了一件深红色的大衣给早已坐在沙发上的欧龙崎披上了。 “想必你就是今天转学过来的学生吧？”校长坐到办公桌前带上老式的复古眼镜开始翻找资料。 “嗯…是的” “欧龙崎？”校长微微一皱眉。 “对。” “恩，不错，好名字。有魄力，以后肯定是个干大事的人。”校长恢复了他那和蔼的笑容。 “谢谢夸奖，不过我不认为光靠名字就能看出以后的生活。不同的民族风俗以及不同的地域文化、视角会造成有很多在我们看来很不错的名字再他们眼里可能是普普通通的名字而已。比如说‘有财’这个名字吧，如果给人取上，听见这个名字的人第一印象可能就会是一位财大气粗的有钱人，可是如果取在一条狗上呢？结果则是不言而喻的。” “呵呵，说的好。人类的生活是人类自己创造的，但是大多数人都不甘生活在他人的世界中。很多人就千方百计地想创造自己的世界，可是很多人都失败了，而且败得很惨…” “那一中就是校长您的世界啰？”欧龙崎问道。 “是啊，我一直以为创造了自己的世界后就安心了，可以好好享受幸福了。可是当我走到今天却发现不是这样的，我身上有许多的责任，这些责任不可推卸，每当我越想得到自己认为的幸福后就越感到自己压力很大，离幸福就越远。”校长叹了口气。 “难道您不认为教育他人是一件很幸福的事吗？” “我尝试过把教育当做自己幸福的目标…可是我不能将教育人才和幸福联系起来，时间长了我会认为是一种累赘。” “看来您是一位热爱自由的人。”欧龙崎道。 校长笑了笑“是啊，我不喜欢被囚禁的滋味，在这里我总有一种被囚禁的感觉。不过我可以问你一个问题么？” “尽管问。” “幸福是什么？它是怎么产生的？自由又是什么？它又是怎么产生的？”校长提出了他一生都在思考的问题。 “很遗憾，我现在的经历还无法回答您，不过我希望有一天我能完美的回答您的问题。”龙崎无奈道，校长要的肯定不是辞典上的解释，而是人身的诠释，对于17岁的欧龙崎来说，这个问题未免太苛刻了。起码要等自己七八十岁才能做出回答好啊。 “我也不期待你现在能回答，不过我对你以后的回答充满了兴趣。啊，好像我们扯得太远了…正事都忘记办理了…”校长拍了拍脑门道。“你直接到对面那栋楼的2楼办公室去报到吧，你的学费已经由你的家长缴纳了。” “谢谢，不过校长。我能知道您叫什么吗？”欧龙崎起身脱下了校长的外套问道，他发现身上的水分少了不少，可能是被外套直接吸收了吧。想到自己感冒的几率大大减少，龙崎暗自高兴了。 “斯里加。” “斯里加校长，那我就先告辞了。” “等等！”斯里加忽然又叫住了欧龙崎。“你好像还不知道我们学校的校规吧？” 欧龙崎停下脚步转过身看着斯里加“校规？什么校规？” “其实校规内容也不多，其实就只有一条：在任何上课的时间内不能进出教室以及不能进出学校而已。也就是说，迟到或早退是绝对不被允许的。如果说，你实在是因为某些原因而迟到早退的话，学校会试情节而决定你是否被开除学籍。这点？希望能够谅解这么苛刻的要求了，这也是为了我校的升学率呀。” “这样啊，这点的话每个学校的校规都是如此，有是很正常的嘛，我会注意的。” “嗯，我第一眼见到你就觉得你是一个很健谈的人，你一定会有很多的朋友。我很看重你。”斯里加微笑。 “正好相反”欧龙崎无奈地耸耸肩。 … 在办公室报到完后班主任唐老师带他去班级上去了。 当欧龙崎踏入教室时，莫名而明显地感觉到了一丝阴暗的杀气，仿佛能将人撕裂，仿佛能将灵魂剥离肉体，强烈的杀气让龙崎险些有些喘不过气来……

明天是高考结束后的第一天，相比去年而言，我觉得是被坑了。 唉，不讨论这个话题了。 安排一下最近几天的活动吧。 第一天，开好网店，倒卖高中所有不需要的书籍，如化学、生物、语文这些一辈子都和我没有关系的东西。 尤其是尼玛生物啊，劳资是整本整本的抄书啊！艹！坑得我五体投地。 英语假期要牛逼起来，考完语文我笑了，考完数学我悲剧了（尼玛这次不是最后一题压轴啊！倒数第三题压轴啊！尼玛坑爹啊！坤哥我比你还悲剧啊！），考完理综我跪了！考完英语我又笑了！！！！！哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！总之英语要更牛逼啊！！！大学什么的就靠英语帮忙看外文著作了！！！！！！ 店开好了大家要来买东西啊！~~~~ 第二天，应该是去怀化去了，老夏和我一起复仇者联盟去的说、 第三天以后。开始我真正的数学生涯！！！！！

“如果你是一滴水，你是否滋润了一寸土地？如果你是一线阳光，你是否照亮了一分黑暗？如果你是一颗粮食，你是否哺育了有用的生命？如果你是一颗最小的螺丝钉，你是否永远守在你生活的岗位上？如果你要告诉我们什么思想，你是否在日夜宣扬那最美丽的理想？你既然活着，你又是否为了未来的人类生活付出你的劳动，使世界一天天变得更美丽？我想问你，为未来带来了什么？在生活的仓库里，我们不应该只是个无穷尽的支付者。”

趁着手机还在，赶紧写点东西。 第一，找爸妈学摄影。学影视。 第二，把没学完的c语言学完。算法看了一半就停课了，得赶紧补完。 第三，买把吉他，把我以前手上的茧找回来。 第四，微分几何，泛函什么的，什么的得赶紧开始了，不然我的青春可等不了我。 第五，找份兼职。把第一个学期头几个月的零用钱攒够了。 第六，身上的肉多了，得赶紧减下来。 第七，待定。

关于就业什么的我先谈谈我的人生。 看了它我还是想学数学，但是尼玛应试教育搞得我对数学的热情大不比当年了。就之后的方面，研究生应该是我首选，其次就是当老师。（现在的看法） 其实我还是蛮喜欢当老师的，可能是比较有成就感的关系。或者说我在某种程度上喜欢思想性高的职业。但是，我貌似对一种长期一样的知识包含抵触情绪，比方说如今我即将彻底对高中数学失去兴趣，因为这些东西我初二就全部知道了。高中三年我又浪费了三年的光阴来做一些无聊的卷子，那些我熟得不能再熟的概念，真的很无聊。 我高中三年在数学上的收获都有些什么呢？ 其一，我觉得基础分析（包含多元分析学）学得差不多了。 其二，我觉得我感兴趣的方向应该是代数和数学分析这两个方向。如果我以后搞研究估计会选择黎曼猜想。 其三，我学到了教师经验。这个的话我高一在长沙的时候就有同学家长找到我，问我是不是有时间帮其补补课，高一那会儿我对数学的热情可是满的，所以马上就接了下来，也没有谈钱方面的问题。不过现在回想起来，那时上的那种水平的补课确实对不住后来给我的六十块钱（一共上了两次），当然，高一那会儿对整个高中的知识仅仅只是停留在自学阶段，因此无论是高中所追求的解题速度，还是解题技巧，都是非常的次。然而我在这两次补课中总结到了当老师还是不错的。高一下学期我想我的重心不在数学上，由于受到某人的影响，转变兴趣方向到了编程方面。不过现在貌似又忘得差不多了。整个高二我很用功的在学高中课程，因为整个高一我没有学过知识，无论在长沙还是回芷江之后，长沙每天通宵上网，芷江还是每天电脑。而由于我对新鲜知识的渴望，因此在高三第一个学期结束前我接触的都是我从未接触过的知识，因此我成绩一直在上升。不过当我走到顶峰时便开始下滑了，因为从高三第一个学期即将结束的时候，开始接触大量的，重复的，没有意义的知识和题目，每天的反复训练几乎让我本对其有兴趣也成了没有兴趣。以至于到现在根本连题目都看不进去了。 其四，耐心。如果是我以前的性格，估计我其他科目的书早就不会再存在了。 综上所述，我学习数学系的基础和志向应该暂时是不会太过消退的。 ========================== 今天先这到这里，下次想到什么再写下来吧。睡了。

豆丁网 美食摄影技巧 41种单反摄影技巧 28种旅游、风光摄影技巧 10个提升照片构图的摄影技巧 佳能官方神级教程--人像摄影专业技巧

事在人为 大约公元前300年，在地中海的南海岸，在亚历山大市尼罗河西岸近旁，生活着一位人物，他的著作的影响可与《圣经》相匹敌。他的研究方法为哲学注入了活力，并且很可能在进入19世纪之前，这种方法就确定了数学的本质。他的著作在很长一段时期曾是高等教育不可缺少的组成部分，这种情况至今仍然如此。恢复他的著作，是中世纪欧洲文明重新开始的关键。斯宾诺沙(1632?1677，荷兰哲学家)模仿过它；A?林肯(1809～1865，美国第16任总统)研究过它；康德(1724～1804，德国哲学家)维护过它。 这位人物的名字就是欧几里得。对他的生活经历，实际上我们一无所知。他吃橄榄吗?他观看比赛吗?他究竟是高还是矮?这些问题中哪一个都没有历史的答案。我们所知道的全部情况，是他在亚历山大城开办过一所学校，有才华出众的学生，蔑视唯物论。他看起来是一个非常文雅但衣着古怪的人，并且至少写过两部著作，其中之一是一本失传的有关圆锥曲线的著作，它研究一个平面与一个圆锥相截所形成的曲线。这本著作，为后来阿波罗纽斯的重要著作奠定了基础。阿波罗纽斯在航海与天文学方面曾处于十分领先的地位。 欧几里得的另一部著名著作《几何原本》，是任何时候都被最广泛阅读的“书”。《几何原本》像《马尔他猎鹰》(20世纪40年代一本美国惊险小说)一样有一段值得夸耀的历史。首先，它实际上并不是一本书，而是13卷羊皮纸文稿，原作无一留存下来，它是通过一系列后来的版本流传下来的。在中世纪黑暗时代，它几乎完全销声匿迹。欧几里得著作的前4卷无论如何也不是原来的《几何原本》：一位名为希波克拉底(不是同名的医师)在公元前400年左右写过一本称为《原本》的书，一般认为，他必定拥有了在《几何原本》中出现过的大部分资料。《原本》目录中没有列入对该书有过贡献的人员的谢辞或名录。欧几里得没有就拥有任何定理的独创性提出过请求，他意识到他本人的作用是对希腊人所了解的几何学知识进行条理化与系统化。他是第一位借助于纯粹思维，而不是参照物理世界理解二维空间性质的大师。 欧几里得《几何原本》最重要的贡献，是革新了逻辑方法：首先，他直截了当地提出了形成精确定义的一些术语，因而确保人们对所有的名词和符号有共同的理解；其次，通过叙述明白的公理与公设(这两个术语是可互换的)形成一些概念，使得所叙述的知识与假定都可以使用；最后，利用这些公理和原先证明过的定理，仅仅使用被人们公认的逻辑规则，就能推出几何系统的逻辑结论。 人们非常非常挑剔，为什么这样坚持对每一个小的论断都要进行证明呢?数学与一座高大的建筑物不同，它是一个上下连贯的结构体系，如果有一个数学砖块跌落下来，整个建筑就会摇摇欲坠，甚至造成大部分无害的谬论进入系统，而使你不能信任任何事物。事实上，有一条逻辑定理说，如果允许任何不成立的定理进入逻辑系统，不管它涉及什么，那么你就能够用它来证明出1等于2来。根据一个传说，一个怀疑者曾使企图着手解决这个垃圾定理(然而实际上他说的是逆定理)的英国逻辑学家B?罗素(1872～1970)陷入困境。“好!”怀疑者大声说，“如果我允许1等于2，那么我能证明出你是罗马教皇。”罗素说必须考虑片刻，然后他回答说：“罗马教皇与我是2，因此罗马教皇与我是1”。 每一条论断都必须证明，直觉虽然是一种有价值的指导，但必须在证明的大门口得到检验。短语“直觉上自明”在证明的步骤上不是一个严格的理由。我们大家离难免出错全都非常遥远。请想像一下沿全长25000英里的地球赤道滚出一个线团。现在再想像在赤道上方1英尺做同样的事。你需要添加多长的线呢???是500英尺，还是5000英尺?让我们把这个问题变得更容易些。想像有两个不滚动的更大的球，一个球在太阳的表面，另一个在太阳表面之上1英尺。当你向上搬动1英尺时，你需要为哪个球添加更多的线呢，是地球上的球，还是太阳上的球?直觉告诉我们中的大多数人，应该是太阳上的球，但答案是，对每一个球来说，你必须添加的线的长度是相同的，即2π英尺，大约6英尺3英寸。 很久以前，有一个名为“让我们做一笔交易”的电视节目，一名参赛者面对三个由幕布隐蔽起来的舞台。一个舞台容纳一个价值昂贵的物品，可能是一辆汽车；另两个舞台里是末等奖。假定参赛者选择第二个舞台，那么主持人就让另两个幕布之一，例如幕布3打开。假定幕布3打开后显示出的是一个末等奖，那么真正的奖品在幕布1或你选择的幕布2背后。这时，主持人问你是否愿意改变原来的选择，在这种场合就是选择幕布1取代幕布 2。你干吗?直觉上看来，无论如何你的获奖机会是相同的：一半对一半。如果你没有其他信息，那就出现这种情况；如果有其他信息，你就改变你的选择，因为你有早先所作的选择与观察主持人动作的经历。对你从最初的选择开始的所有可能情况出发进行仔细的分析，或者应用适当的称为贝叶斯定理的公式，将显示出如果你改变自己的选择，就会提高你获奖的机会。在数学上有许多例子，在那里直觉失败，而审慎的形式推理将揭示真相。 精确性是另一种需要数学来证明的性质。一个观测者可能测量出边长为1正方形的对角线长为1．4，改进他的设备后得到的结果为1．41或1．414，虽然我们打算采用的这种近似值已经足够好了，但这种近似值绝不能揭示出对角线长度是无理数这样一个革命性的远见卓识。 数量上的微小改变，可能对质产生巨大的影响。请考虑一下国家的彩票。怀有希望的失败者无奈地耸耸肩说：“如果你不玩彩票，你就不会赢。”这当然是正确的。但同样正确的是，在百分比很小的范围内，无论你买彩票，还是不买彩票，你赢的机会是相同的。如果彩票代理人宣告，把你的中奖率从0．00001四舍五入为零的话，将出现什么情况呢?这是一个小的改变，但会对他们滚滚而来的年收入产生巨大的影响。 一位生活在纽约市的业余魔术师保罗?柯里发明了一种戏法，为上述这种效应提供了一个几何范例。取一张正方形的纸，在它上面画上7 × 7的小方格。把大的正方形剪开分成5片，然后按图所示重新安排这5片。结果形成一个“方炸面饼圈”，即与原正方形同样尺寸的一个正方形，但它的中央缺了一个小正方形。面积丢失怎么会出现呢?我们能否证明完整正方形与“方炸面饼圈”有相同的面积呢? 答案是，当剪出来的几小片被拼合在一起时，正好有一小片被重复使用了，因此有一小片巧妙地逃避了，也就是我们所说的形成了一个近似值。第二排的正方形恰好高一点点, 使得大正方形高出了1／49，这恰好可以说明丢失一小块正方形面积的原因。但是如果我们限制长度测量精确到2％，我们就不能说出两种构造之间的差别了，而且可尝试得到正方形的面积与方炸面饼圈面积相等这样一个神奇的结论。 这么小的偏差能对空间的现行理论产生作用吗?引导爱因斯坦创造弯曲空间的革命性理论??广义相对论的关键之一，就是经典牛顿理论在水星近日点出现的偏差。按照牛顿理论，行星都在理想的椭圆轨道上运动。行星上最接近太阳的那个点称为近日点，而如果牛顿理论是正确的，那么，当行星每年绕太阳轨道运行时，它应精确地回到同一个近日点。在1859年，勒威耶(法国天文学家，1811～1877)在巴黎宣布，他已经发现，水星的近日点确实移动了极小的距离??当然是一个没有什么实际影响的一个量??1世纪38弧秒。然而，此偏差必定是由于某些原因引起的。勒威耶说它是“值得天文学家们注意的一个重大难题”。1915年，爱因斯坦提出了足以计算水星轨道的理论，而且他发现了与微小偏差相符合的事实。按照一位名叫A?佩斯的人的说法，“这是爱因斯坦科学生涯中的一个重大事件，他甚至激动得三天没有工作。”事实上，要求偏差微小，至少是导致经典物理衰落的原因。 欧几里得的目标是使这个系统不存在未被承认的、根据推测和不严格的直觉而得到的假定。他叙述了23个定义、5个几何公设以及5个附加的所谓“公理”。再以这些为基础，他证明了465个定理??这基本上就是他那个时代的全部几何知识了。 欧几里得所定义的，包括像点、线(他定义的线可以是曲的)、直线、圆、直角、曲面和平面等术语。在他所定义的这些术语中，某些术语非常精确，比如他说平行线是“位于同一平面，朝两个方向任意延长后在两个方向上都不相交的两条直线”。 欧几里得说圆是“包含在一个线(曲线)内的一个平面图形，从位于曲线内部的一点(称为中心)出发的所有直线段彼此相等”。对于直角，欧几里得定义为“当一条直线与另一条直线构成彼此相等的相邻两个角，这相等的两个角中任何一个角是一个直角”。 但欧几里得的另一些定义，例如点与线的定义，是含糊而且几乎无用的：“一条直线是平坦地落在它自身一些点上的图形。”这个定义可能来源于建筑行业，在这个行业中，通过眯起眼睛沿着它的延长方向凝视这种方式来检验一条线是否平直。为了理解它的含义，你必定已经对一条直线形成了印象。欧几里得把点定义为“没有组成部分(即不能再分)的事物”，另一个定义是，对它来说边界是无意义的。 欧几里得的公理更高雅。这些公理是非几何方面的逻辑论断，与几何学特定的公设相对的是，欧几里得显然认为公理是人们公认的理念。这正是早先由亚里士多德指出过的区别。通过明确揭示这些直觉的假定，欧几里得特意添加上他的公设(即公理)，显然他还感到需要把它们与他的纯几何论断加以区别。他思想深处的遗嘱，是他需要作这样完全的陈述： 1．与第三个事物相等的两个事物彼此相等； 2．等量加等量所得的总和相等； 3．等量减等量所余的差相等； 4．能彼此重合的事物相等； 5．整体大于部分。 作为欧几里得几何基础之几何内容的前言，是他的5条公设。其中前4条是简单的，能用某种完美的方式加以叙述。用现在的说法即： 1．已知任意两个点，可以画一条以这两个点为端点的直线； 2．任意线段可以沿两个方向无限延伸； 3．已知任意点，可画出一个以此点为中心、任意半径的圆； 4．所有直角都相等。 公设1与2看来与我们的经验一致。我们意识到，我们知道如何从一个点到另一个点画一条直线段，而且我们绝不会撞到阻止我们延长线段到达太空尽头的障碍物。 公设3稍微有点难以捉摸。其中一个方面是指，在空间中的距离以这样一种方式来定义，即当我们画出一个圆时，是把线段从一个位置移动到另一个位置而使线段的长度保持不变。欧几里得的第4公设看起来既简单又明显。为了理解难以捉摸之处，可回忆直角的定义：它是一条直线与另一条直线以下列方式相交而形成的，两边构成的角相等。我们已多次发现：一条直线垂直于另一条直线，在交点两边构成的角都是90。。但是由这个定义本身并不能证明这个结果，甚至不能确保角度的大小总是取同样的数值。我们可以想像一个世界，在其中，如果两条直线在一个已知点相交，角度可能等于90。；但如果它们在另一点相交，那么角度等于另一个值。所有直角相等的公设确保上述这种情况不会发生。在某种意义下，这意味着一条直线看起来沿着它的长度指向都相同，即处于一种平直性的状态。 欧几里得的第5公设，称为平行公设，看起来就不像其他公设那样明显和直觉了。它是欧几里得特有的创造，但它并不是他所记述的一大批知识的基本部分。而且他明显地不喜欢这个公设，因为他好像尽可能避免使用这个公设。后来的数学家亦不喜欢它，感到它作为一个公设不够简明单纯，而应该作为一个定理来加以证明。以下是与欧几里得最初表达形式相接近的一种形式： 5．已知一个线段以这种方式与两条直线相截：如果同旁内角之和小于两个直角，则两条直线最终会(在线段的那一边)相交。 平行公设给出了确定两条共面直线是否聚合、平行或发散的检验方法。为了理解这一点，有一个示意图是有帮助的。 平行公设有许多不同而相互等价的表达方式。下述形式使得说明空间情况的这个公设特别明白易懂： 已知一条直线及直线的一个外部点(不在此直线上的点)，则恰好存在另一条(在同一个平面上的)直线通过此外部点，且平行于已知直线。 以下两种可能的情况使平行公设不成立：一是可能不存在平行线这样的几何对象；二是通过某个外部点存在不止一条平行线。 在一张纸上画一条直线，并在此直线外的某个地方画一个点。过此点不能画出任何平行线似乎是可能的吗?过此点画出不止一条平行线似乎是可能的吗?平行公设能描述我们周围的世界吗?可能存在一种在其中数学相容性不成立的几何学吗?上述后两个问题最后导致理性思维上的一场革命。前一个问题出现在人们观察宇宙的时候；后一个问题出现于人们理解数学的本质与意义的场合。但是两千年以来，在人类知识的任何领域中很难出现另一种观念，它比欧几里得公理表达的“事实”，即有一条且只有一条平行线存在，更广泛地得到承认。

“焦点访谈”是重要电视台第一套节目时事、政治性较强的一个节目，应该选择晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”播出。 即应选在晚上7点到8点之间的一个时刻开始播出，经常观看这个节目的你一定注意到了，它的播出时间是 7:38，这里有什么特殊含义么？ 容易观察到，七点三十八分的时候刚好是时针和分针重合的时候，下面我们来证明它： 证明：设7点t分(0≤t<60)时针时针和分针重合。 在7点整时，时针和分针夹角为30*7=210度， 时针每小时转30度，所以每分钟转0.5度； 分针每5分钟转30度，所以每分钟转6度， 因为时针转t分钟后，两针重合，这时时针从七点整的位置转了0.5t的角度 而分针转了6t的角度，于是我们得到方程：6t=210+0.5t. 解得t=420/11约等于38(分) 证明完毕。 从而可以看出“焦点访谈”栏目播出时间的用意：用时针和分针重合来比喻时事、政治的“焦点”。

每个人心里都会留下一座城，或是无形，或是具象。 但城会留下，带不走，而人却终归要迁徒。“故”有逝去的意思，是的，城逝去了，人还在路上。“你们既然来了，看见了，知道了，而且你们年轻，你们可以依你们的理想来创造美丽的新世界。”可我们有的时候就是这般，我们也不知道我们要的是什么，寻的是什么。我们离开自己的村庄迁徒去他人的城，又离开他人的城去探访那些他人的村庄，或是他人的城，我们总是拿起又放下，我们总不知道该拿起什么，放下什么。