从牛顿说起 说到流形，要从 Newton 说起。 寒假的时候，也不知是在哪儿看的，说是当时Newton对三次曲线分类，实可逆线性变换和平移变换下的标准型有78类。 今天读古今数学思想的时候才知道其实Newton只得到了72个，Stirling后来在1717年的时候又补了4个，一个叫 Jean paul de gua de maives（这货名字好奇特）的人在1740年的时候又补了两个。 又要说到三次曲线上一个非常神秘的结构。比方说给一个集合： $$ {P (x,y) | y^{2}=x^{3}+17,x,y\in C}\bigcup{0} $$ 定义一个运算$\bigoplus$，这个运算满足交换律、结合律、零元律、负元律。 在公元250年左右有个叫Diaphantus的人就求出了这个运算的一个表达式，后来Newton就在对这个非常神秘的运算公式进 行了几何解释（据说是在1670年后）。 后来euler在1756年到1757年间研究过一个类似的积分加法公式（举个例子就是 $ \arcsin{x}+ \arcsin{a} = \arcsin{x\bigoplus a} $，研究这个$\bigoplus$运算），后来Euler得到了 $x\bigoplus a$的一个表达式、并在1756-1757年间尝试用此公式来解一个常微方程（很显然那个的积分并不是初等函数）。 当时是说Fagano在1717，2020年先得到了特殊解，Euler在1756、1757的时候得到了一般解。 据说Gauss也研究过这个积分，他也获得了两个非常神秘的周期，而且这两个周期有非常奇葩的联系。(有空补上) 不过，很遗憾、事实上Lagrange早在1785年就已经发现，并且还发表了（古今数学思想上说的、、）， 我估计是当时 Gauss 没看到，当时Gauss是在1799年发现，写在日记本上，当然他没有即使发表。要不然…… 1823年的时候，abel整合了以上这些人的工作，包括一般积分加法公式和双周期。 他发现，一般椭圆积分的关键思想是“反演”。从而椭圆积分概念走向椭圆函数概念。 椭圆函数的另一个发现者是Jacobi，他是在1827年的时候独立得到椭圆积分的“反演”思想。（也就是说Abel研究椭圆函数 的时候，Jacobi开始研究椭圆函数）他送了一篇没有证明的论文给Astronomische nachrichten，差不多是在同一时间， abel独立发表了他的《关于椭圆函数的研究》，两人都达到了从椭圆积分的反函数着手研究这一关键性想法。（但是好像后 来Jacobi承认，他是在看到abel的论文后才意识到反演的关键性所在。） 不过很可惜啊！！！！abel在1829年就去世了、jacobi活到1851年、发表了比abel更多的东西。而且1829年jacobi的 《椭圆函数基本新理论》成了椭圆函数的一本关键性著作。 通过Jacobi的来信，Legendre熟悉了Jacobi和Abel的工作，这么评价“我很满意地看到两个年轻数学家如此成功地开辟 了分析的一个分支，它很久以来是我喜爱的领域，但在我自己的国家中它却没有受到应有的重视”。 主要的问题在于，Abel积分的难点是，$x$是$y$的多值函数，那么积分中的$y$到底应该取什么值。所以Abel就认识到从 1666年Newton-Lebniz的微积分开始，建立的“单值函数论”的思想，经过了150多年的发展，如今遇到了巨大的困难。那么突破口在哪里呢？ 这时候大神Riemann登场了、、Riemann大神常常被描述为一个纯粹数学家，不过这远非正确。虽然他对数学本身作了很多 贡献，但他深深地关心于物理及数学与物理世界的关系。（好吧、这个和这次主题无关、我多嘴了、） Riemann发现关键是四维空间中看不到的某（打不出来）“紧化”后，“同样”于三维空间中“看得到”的环面（面包圈= =）， 这个环面上有独立的两个“同调圈”。Riemann并且还认识到那个积分的严格写法。后来riemann搞出来一个东西叫做 Riemann面，他把Gauss-Abel他们神秘的发现“所有椭圆函数都有两个周期”，被Riemann用Riemann面,【显然的】， 【直接的】，“看到了”！。那个普遍的拓扑定理，在： 1851年，Riemann知道。 1863年，Mobius独立发现。 1866年，Jordan独立知道。 1907年，Dehn和Heggard严格证明。 洞的个数叫做genus，是最基本的拓扑不变量。 几点感悟 说点感悟吧！ Riemann genus是拓扑不变量，这是拓扑学进入数学主流的开始，从此，代数拓扑学和微分拓扑学逐步进入几乎所有 核心数学分支，成为二十世纪的数学Queen。代数拓扑学和微分拓扑学是流形思想的本质力量。 Riemann得到 定理：“2元多项式方程具有有理函数解的充要条件 是它的Riemann 面的genus为零”。这是流形思想 应用于 多项式函数解 一个起点； 也可以看作现代代数几何的一个起点。 Remann 1857年 用 Riemann 面 建立 Abel 积分的清楚理论。这是流形思想应用于分析，可看作大范围分析的一 个起点。 Riemann 1854 年《关于几何基础的假设》建立了明确的内蕴几何学.

本文简要地介绍ZFC集合论中各公理的意义及作用。 首先，ZFC集合论中的公理大致分为3组： 1、外延公理。 2、子集公理模式、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理模式。 3、正则公理(或 基础公理)、选择公理(记作 AC)。 下面是详细的说明：(iff 表示 当且仅当) 1、外延公理：对所有的集合$A$、$B$，A=B iff 对所有的x($x∈A$ iff $x∈B$) 分析：首先，左边 ( 即“ $A=B$ ”) 蕴含右边 ( 即 “对所有的 $x$ ($x∈A$ iff $x∈B$)”)是等词的性质；重要的是右边蕴含左边。 它说的是：一个集合完全由它的元素(即“外延”)确定，不依赖于其他任何东西(如形状等)。这体现了数学的“量”的特点，也表明了数学的“简单性”——研究集合的时候考虑且只考虑集合的元素。 它的作用是：把证明两个集合相等转化成了证明有相同的元素(这一点在做数学题时非常常用)，确保了第2组公理里断言存在的集合的唯一性。 2、这一组公理都是断言某种集合的存在性。 子集公理模式： 历史回顾：康托(Cantor)认为，“内涵公理模式”(即 对所有的性质$p(x)，{x：p(x)}$ 是集合)成立。 但这是错误的，1901年被“罗素(Russel)悖论”否定(罗素的反例是：取$p(x)$为“$x∉x$”)。 后来，人们把“内涵公理模式”修正为“子集公理模式”： 对所有的性质$p(x)$，对所有的集合A，${x∈A：p(x)}$是集合。 从而排除了悖论。 子集公理模式说的是：如果我们有一个现成的集合A，那么我们就可以拿A中的元素作为“材料”用性质$p(x)$造出一个新的集合${x∈A：p(x)}$，因为${x∈A：p(x)}$是A的子集，所以这个公理模式称作“子集公理模式”。 子集公理模式有重要的意义：它把“性质”实体化了。性质$p(x)$本是一个看不见摸不着的东西，但有了子集公理模式以后，我们用p(x)做成了一个集合${x∈A：p(x)}$(集合是我们的实体)，它可以从局部完全地刻画p(x)的特征。这一点是集合论能够成为数学的基础的最根本的原因，其它的大多数形式系统，不能够把性质实体化，不具备研究性质的能力，因而不能成为数学的基础。 子集公理模式的作用：从已知的集合构造出新的集合。 但是，子集公理模式只能从已知的集合得到它的子集，当我们一无所有的时候，我们能得到什么呢？ 首先，我们用逻辑公理能证明：存在$x(x=x)$。也就是说集合是存在的。 我们用某个存在的集合A，利用子集公理模式，可知“${x∈A：x≠x}$是集合”，这个集合就是∅。 但是，对∅使用子集公理模式，我们再也得不出新的集合，因为∅里没有我们想要的“建筑材料”。 所以，要想实现从无到有的突破，我们还需要新的公理。 无序对公理：对所有的集合$A、B，{A，B}$是集合。 有了这个公理以后，我们可以知道 ${∅}$、${{∅}}$、${{{∅}}}$、${∅, { ∅ }}$ 等都是集合。 但是，我们只能得到一元集或二元集，${∅，{∅}，{{∅}}}$是不是集合，我们无从得知。 并集公理：对所有的集合A，${x：存在B∈A，使得x∈B}$ 是集合(记作$∪A$)。 有了并集公理以后，我们可以知道 ${∅，{∅}，{{∅}}}=∪{{∅，{∅}}，{{{∅}}}$ 是集合。 我们还可以证明交集定理：对所有的非空集合$A，∩A={x: 对所有的 B∈A, x∈B}$是集合。 有了并集公理之后，我们可以构造各式各样的集合。 幂集公理：对所有的集合A，${x：x是A的子集}$是集合(记作P(A))。 这个公理可以以更快的速度(指数速度)形成新的集合。 在外延公理的基础上，有了子集公理模式、无序对公理、并集公理和幂集公理以后，我们就可以适当地展开数学了： 首先是有序对的概念： 有序对定理：对所有的集合$a、b，<a，b>={{a}，{a，b}}$是集合。

前阵子看线性空间定义的时候无意间注意到定义中的加法交换律实际上是可以由其他七条证明出来的。 我们先明确课本上的定义： 定义：设V是一个非空集合，K是一个数域。又设： （i）（定义加法）在V中定义了一种运算，称为加法。即对V中任意两个元素a和b，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为a+b； （ii）（定义数乘）在K中的数与V的元素间定义了一种运算，称为数乘。即对V中任意元素a和数域K中任意数k，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为ka； 如果加法与数乘满足下面列出的八条运算法则，那么称V是数域K上的一个线性空间。 （1）（加法交换律）对任意的a,b属于V，a+b=b+a； （2）（加法结合律）对任意的a,b,c属于V，a+(b+c)=(a+b)+c； （3）（存在零元）存在一个元素0属于V，使对一切a属于V，有a+0=a； （4）（存在负元）对任一a属于V，都存在b属于V使a+b=0。 （5）（数乘单位元）数域中的数1，有1*a=a； （6）（数乘结合律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(kl)a=k(la)； （7）（对数乘加法的分配律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(k+l)a=ka+la； （8）（数乘对加法的分配律）对于任意的k属于K，a,b属于V，有k(a+b)=ka+kb； 实际上我们可以利用（2）~（8）来证明那（1），也就是说（1）并不是独立的公理。 给出新的定义： 定义：设V是一个非空集合，K是一个数域。又设： （i）（定义加法）在V中定义了一种运算，称为加法。即对V中任意两个元素a和b，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为a+b； （ii）（定义数乘）在K中的数与V的元素间定义了一种运算，称为数乘。即对V中任意元素a和数域K中任意数k，都按某一法则对应于V内唯一确定的一个元素，记为ka； 如果加法与数乘满足下面列出的八条运算法则，那么称V是数域K上的一个线性空间。 （1）（加法结合律）对任意的a,b,c属于V，a+(b+c)=(a+b)+c； （2）（存在零元）存在一个元素0属于V，使对一切a属于V，有a+0=a； （3）（存在负元）对任一a属于V，都存在b属于V使a+b=0。 （4）（数乘单位元）数域中的数1，有1*a=a； （5）（数乘结合律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(kl)a=k(la)； （6）（对数乘加法的分配律）对于任意的k,l属于K，a属于V，有(k+l)a=ka+la； （7）（数乘对加法的分配律）对于任意的k属于K，a,b属于V，有k(a+b)=ka+kb； 我们的目的是证明加法的交换律，我们先来证明几个预备定理： 定理-1：零元是唯一的。 证明：设有两个零元o_1,o_2；则 o_1+o_2=o_1 o_2+o_1=o_2 则o_2+o_1+o_1+o_2=o_2+o_1 o_2+o_1+o_2=o_2+o_1 o_1+o_2+o_2+o_1=o_1+o_2 (未证完) 定理0：负元是唯一的，并记a的负元为-a 证明：设b,c均为a的负元，则a+b=0,a+c=0; a+b=a+c 则0+b=0+c 则0b+1b=0c+1c 注：这里虽然用到了定理1，但是定理1的证明是独立于定理0的。 则(0+1)b=(0+1)c 则b=c。 定理1：0a=0； 证明：0a+a=0a+1a=(0+1)a=1a=a； 再两边分别从右边加-a，即0a+a+(-a)=a+(-a)； 所以0a=0。 定理2：(-1)a=-a； 证明：a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0， 故(-1)a=-a。 定理3：(-1)a的负元为a。 证明：-(-1)a=-((-1)a)=(-1)((-1)a)=((-1)(-1)a)=1a=a 现在证明加法交换律： 由（7）我们有：(-1)(a+b)=(-1)a+(-1)b。 在上式右边依次加b, a 则 (-1)(a+b)+b+a = (-1)a+(-1)b+b+a = (-1)a+((-1)b+b)+a = (-1)a+0+a = (-1)a+a = 0。 则(-1)(a+b)的负元为(b+a)，故记b+a=-(-1)(a+b)=(-1)(-1)(a+b)=a+b 故 a+b=b+a。

迷惑很久，终于想通。 其实是一种数据的处理方法，可以简化数据。矩阵乘特征向量就是在其方向的投影。这点类似于向量点积既是投影。 通过求特征值和向量，把矩阵数据投影在一个正交的空间，而且投影的大小就是特征值。这样就直观体现了数据的基本特征。 最大特征值并不是说数据在所有方向的投影的最大值，而仅限于正交空间的某一方向。 至于为什么求出来的特征向量是正交的，可以证明。 有没有其他的正交空间，一般矩阵，满足满秩，只有一个这样的空间。 会不会有更好的空间来体现数据的特征，一般来说，正交空间就很好，不排除特殊应用需要非正交的空间，可能会更好。

（一）上半年、 一年前我们在高考的冲刺中追逐着，机械性的高三没什么可总结。 六月份的终点看昨天的我们走远了，在命运广场中央等待着。 那模糊的肩膀，越奔跑越渺小。 曾经并肩前往的伙伴，在举杯后都走散。 亲爱的朋友们，你们如今过得可好？ （二）下半年、 身为一个十足的乡巴佬，初入大学的时候确实比较稚塄，国庆的时候说过一些蠢话干过一些蠢事。 这些经历我相信我不会从大脑中删除，它们将成为我接下来四年的警示。 国庆的时候和朋友们的峨眉之行确实是难得的经历，虽然口头说说这辈子再也不去那种地方，若是还有机会，我绝对义无反顾的要登顶。 大学正式开课后非常天真的加入了三个够我忙一个学期的“地方”。但是我并不后悔。虽然在如此忙碌的环境下，大学里的效率还算是挺高的，预计完成的基本上完成了，总体来说我还是比较满意的。 青春是我们一生中最美丽的季节，充满诗意而不缺乏拼搏的激情，时尚浪漫而又饱含奋斗的艰辛。 我们正直青春年华，待我们回首往事的时候，不能因为碌碌无为而悔恨。 青春永远是美好的，可是真正的青春只属于那些永远力争上游的人，永远积极并谦虚的人。 我告诉自己，只要你是金子，迟早是会发光的。 只要你斗志昂扬的面对生活，你就会有所收获。 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。 青春是学习的季节，青春是奋斗的岁月。 不要停止前进的步伐，因为青春的路正长。 人生没有彩排，更不会像剧本一样可以删减。 对自己负责，对自己的人生负责。 毕竟带领我们走向成功的，只有我们自己。 抓住青涩的青春，让人生留下永恒的光辉。 附 1、这学期的读书进度： 《数学分析讲义（陈天权）》 第二次阅读 100% 进一步理解。 《数学分析教程（史济怀）上》 第二次阅读 100% 进一步理解。 《程序设计引导及在线实践》 100% 较详细的了解C。 《数学之美》 100% 数学确实很美。 《思考的乐趣》 100% 思考才是最大的乐趣。 《数学：确定性的丧失》 第二次阅读 100% 有空再读一遍，这书写的太棒了。 《悖论简史》 100% 这书真心不错。 《Photoshop图层与通道艺术》 100% 《完美的证明》 100% 《数学世纪——过去100年间30个重大问题》 100% 《PhotoshopCS完美修图》 100% 《数码单反摄影必学300招》 100% 《After Effects CS5完全学习手册》 100% 《高等数学实验》 100% 《数学建模案例》 100% 《数学建模的方法内容及其意义》 100% 《数据处理方法》 100%

序 我不确定我能否写完这篇已经构思很久了的日志，但是不可否认的一点是：我的确动“笔”了。 一、你站在旧时光里。 如梦的舞台， 无意注入迷茫的情绪。 我躲闪你温情的目光， 嘻笑着远离。 浮生的定格， 无法挽留最终的别离。 我高举苍白的灵魂， 嘻笑着远离。 你又来倾听， 却分辨不出那歌声里， 印染着，被诅咒过的旋律。 红酒里的诱惑，透明杯的高贵。 纯情的微笑，优雅的虚伪。 美丽的琥珀，远去的眼泪，孤独的琥珀，幽幽的轮回。 二、模糊了我的信仰。 忘不了那片光。直视心房。总以为能彻底忘记。却断断续续。 如果有人深深看尽我毫无防备的眼底，我会请他告诉你，那里面住着你。 汇聚成漫长交缠的记忆，我不怕威胁不怕牺牲，不怕独自一人走到荒芜人际的城里。 我怕分开怕伤害，怕漆黑夜里一个人想你。 我想象，爱情不会轻易悲伤，所以一切都是幸福的模样， 爱情简单的生长，依然随时可以为你疯狂。 爱情怎么会有沧桑，我们还是年轻的风光，爱情在那个地方，依然还有人在那里游荡。 人来人往。 三、旧时光。 那些来时所经历的所有浩劫都是成长的祭奠，它教会我迅速成长，然后勇敢。 我开始用整段整段的时间来记忆起那些旧时光，然后开始恍然。恍若那些旧时光已经能够过去很久很久。 关于那些画面，他所有的背景都是被定义黑白，它的所有名字都被定义曾经。 十一月那些景城里没有的雪，灰黑色的夕阳，那些掠影般逝去的流年，如同老屋阁楼角落里蒙上尘埃的盒子。 残阳浅浅的蒸腾了潮湿腥闷的气息以及纳西浮光掠影般逝去的时光。记忆被拉扯，轮回。其实我们一直没遗忘过什么。 我想给少年时的你一个拥抱，我想告诉你请相信一切都会过去的。 你曾那么的不知所措，对这个世界怀疑、心冷。还好还好，都过去了不是么。 我们都心存感激，感谢他们教会的，虽有伤害，但伤口总有愈合的一天。成长是必然的。 我们一直都在行走，无法停止。那些回首就可以看到的来时的路，给我们安慰与勇气。 美好，终究浓缩成今天的回忆。 无奈，阻挡不了时间匆忙的步履。 精彩，拼凑成明天的历史。 执着，打破岁月侵蚀的痕迹。 四、我的脑海里。 回忆是桥，却是通往寂寞的牢。 常听人谈：你没经历过，是体会不到这种感觉的。是呢。现在终于了解到，以往的他们是何等的痛苦， 以往的他们为什么会泪流成河。 我的夜晚，生活在残留着浓烈现代气息的悠闲的城市。 我能看见锦城广场的白鸽惊起，掠过不可一世的平顶。 我能听到空城的颂歌从奏响到寂静无声息。 我能陪着这座城慢慢睡着，等待地球再一个自转， 睁眼。 雾散，梦醒。 我看见真实。

谷歌不像苹果，苹果自己就是手机厂商，直接管控手机的每一个细节以保证最终用户的体验，而谷歌自己不生产手机，很多手机厂商生产使用他操作系统的手机，那他怎么保证用户对Android手机能有好的印象？会不会像“超级本”一样良莠不齐、一什么毁了一锅汤？谷歌的手段就是直接管控亲儿子——Nexus系列手机。 Nexus系列完全按谷歌的要求进行设计、生产、订价和销售，原代工品牌极其弱化。其作用有两个： 第一就是树立一个品质配置标杆，告诉世界 Android 手机到底应该什么样子、什么配置、用户体验应该是什么样的。 第二个作用就是树立一个价格标杆，Android 手机倒底应该卖多少钱。 这两个标杆一立，其它厂商就有了约束，在出手机的时候配置不敢再做得太低，否则用户体验不好骂的就是你而不是谷歌，价格也不敢定的太高，亲儿子在此你定高了怎么卖？所以Nexus就像Android机海里的核心和风向标，谷歌大旗一挥，整个阵营就得向哪里冲锋。

生活在呼啸中吼过，是谁那么慌，剪破七月的时光？ 一、看那场，似是繁华 从哪儿开始呢， 距离那场所谓的转折点已经过去差不多两个月了。 不过似乎我的人生并没有迈向我所期望的人生轨迹， 相反， 似乎我心头所压抑的些许东西释放得差不多了。 我很奇怪这样一个问题， 寂寞生寥，苦寒三载。晨稀夜繁，何者这般？ 你是否觉得，青春就是你在对的时间做大人们认为可笑的疯疯癫癫？ 你是否觉得，青春就是你在错的时间做大人们认为不该的稀稀落落？ 你是否觉得，青春就是你希望拥有的和渴望拥有的却并不能虚情假意的感动？ 谁都不需要解释什么， 承受背叛和折磨。 二、不是不爱，而是，心呆，心不在 我一直很想找个时间来谈谈我的情感。 今天是个机会， 但是我希望我的你看完后不要回复我这篇日志， 因为我们把它藏在心里不是挺好的么？ 感觉太坏，似乎这次的独白， 会成为我们阻碍吗？ 我甩甩我的双手，天真早已不在。 我头顶上的“无奈”独自享受着它寂寞的姿态， 我却学不来。 我的眼睛在说谎，假装很温柔，却在离去远去的那一刻汹涌。 那不变的熟悉，心却拉开了保持靠近的距离。 需要异常的冷静，不留选择的余地。 三、涩涩 敲打键盘的声音就像是闹钟在警告我： 嗨，你的青春在倒计时。 这是无病呻吟。 岁月流砂过指尖，青春只是未老容颜。 你好，我的三分之一。 第一次官方的拒绝， 会被发现吗？呵呵。 四、一个坚强的人的背后，到底能埋藏多少脆弱？ 这个问题靠谱吗？ 不靠谱。 虚伪至极。 我就像一个小朋友一样，在迷茫的寻走，总要有人来点醒，不然我便会渐渐迷失。 这是实话。 是什么给我面对未来不可预知的资本？ 我是一个双重性格的人， 我有沉默寡言的一面， 也有活泼开朗的一面， 黑色和白色恰好完全的诠释着我。 大家好，我是4945。谁谁谁，我来了，等着。

爱已不在这里，我却还没走脱。 一、 高考完这一个月貌似什么正经事情都没做。 以前说的很多事情现在看来都变得如此的遥不可及。 比方说第一件事，我高考前说是找父母学摄影的，现在略有入门，不过没有完全实施。 老爸说，摄影是一门和人打交到的职业。 也苦笑我自己。 再来看第二件事情。 学c。 也不知道当时怎么想的现在看来我得多加好几门了？ 我嘴上答应但心里还是很痛。 擦掉眼泪很容易，但却无法擦掉回忆。 二、 都没录取就复读是一个很严峻的问题。 这世界太多来去无常。 我爸如是说。 两天的争论。 我被击溃得一无所有。 近乎所有的感性都化为理性，走出了那个凭着感性生活的世界。 作为一个彻头彻尾的理性人，看看脚下即将有过的独木桥，是入水？是狂奔？ 谁谁谁你对，我笑谁可悲。 吾皇万岁，万万岁。 三、 相伴到永久，是幻灭童梦。 现实教会了要往前游。 吉他还是不学了。 自从经历过那些以后。 何必让青春自己做主。 四、 今天吃饭的时候和爸爸聊到一个有关逻辑黑洞的问题，准确的说是多重陷阱的问题。 “我是一个罪犯，现在你已经在我的控制下。 你面前有三条路， 一条，被我枪杀 二条，选择第一瓶药，吃下，那么我吃下第二瓶。 三条，选择第二瓶药，吃下，那么我吃下第一瓶。 两瓶药有一瓶是毒药，如果你没死就可以走了。 两瓶药我当然知道哪瓶有毒。 现我设陷阱，我特别拿出一瓶，告诉你，这瓶是没有毒的。” 谈什么风格。 论什么独特。 于是顺便就聊到了关于我和罗杰两人的能力问题。 我是一张写得乱七八糟的白纸。 而他是一张刚刚写下一点字的白纸。 我想说的是， 白纸或许是白纸，而这张白纸可是在狂风暴雨中等待墨水的洗礼的白纸。 现实教会了人往前走。 却弄丢了朋友。 五、 考前找工作想得挺理想的。 琐碎的羁绊还是牵绊。 滋长不满。 关于工作前些日子有和亲戚朋友聊过这方面的问题。 我记得是在微博上见过还是哪里见过。 把自己喜欢做的事情做好了不算什么。 把自己不喜欢的事情做好了那才叫人才。 确实，这个话当时看的时候觉得挺**的，呵呵。 可能是时光让耳朵变得宽容。 同一句话从别人口里说出。 反映出不同的想法，不同的理解，不同的转变。 这些感触鼓动我的人生在某些时候变得更加的与众不同，难以捕捉。 所以我淡化了专业的想法，全部填了服从。 万人敬仰，举世无双。 最后一样阵亡。 六、 计划赶不上变化是一个恒古不变的道理。 口口声声吼着减肥。 行动从没降临。 忽然你哭了。 问你在哭什么？ 不要再回味过去的对错。

所谓良序原理事实上就是这么个东西：任何集合上都可以构建一个良序关系。 一、所谓那些良基性质。 良基的性质是很有用的。我们都知道数学归纳法，但是数学归纳法只能归纳下标为自然数的东西； 而用良基的性质，就可以弄出来更强大的transfinite induction（超限归纳法），可以归纳下标为任意序数的东西。 一个良基的全序关系就叫良序关系。常见的实数上的≤就是良序关系。 超限归纳法：令“＜”为集盒W上的一个严格良序关系，phi(w)是关于某w∈W的一个性质。 如果对于所有w，都满足：“假如对所有x＜w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”，那么对于所有w∈W，phi(w)都必为真。 这个跟我们所熟悉的数学归纳法有点不同，但是也有相似的地方。证明如下： 已知对于所有w，都满足：“假如对所有x小于w，phi(x)都为真，那么phi(w)必为真”。 假设存在一个w_0其phi(w_0)为假，那么必有w_1＜w_0其phi(w_1)为假…如此下去， {w: phi(w)为假}这个集盒就没有最小的元素，违反了良基性质。证完。 用超限归纳法，我们就可以对一个函数进行recursive definition（递归定义）， 即f(x)的值由x和{有序对<x',f(x')>: x'＜x} 共同来定义。 即，我们递归地定义一个G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})，再令f(x)=G(x, {<x',f(x')>: x'＜x})。 这是可以通过良序性和超限归纳法做到的。 可以证明以下三种情况必有且只有一种为真： {x: x<w}在f的定义域里且f(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})； {x: x<w}在f的定义域里但w不在f的定义域里，且G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})未定义； w不在f的定义域里且存在一个x＜w也不在f的定义域里。 证明如下： 如果一个定义域为W的子集的函数 h 符合 “w ∈ Dom(h) => 所有＜w 的 w'∈Dom(h)， 且 h(w)=G(w, {<x',f(x')>: x'＜w})” 我们就把 h 叫做一个 “好”的函数。 用超限归纳法易得：如果 h 和 h' 都是好的，且w 在它们定义域的交集里，那么必有h(w)=h'(w)。 所以，令 f 为所有的好的函数的并集（即，只有有一个好的函数h的定义域包含了w，就有f(w)=h(w)），则 f 自己也是一个好的函数。