ZFC 集合论中各公理的意义及作用
本文简要地介绍ZFC集合论中各公理的意义及作用。 首先，ZFC集合论中的公理大致分为3组：
1、外延公理。
2、子集公理模式、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理模式。
3、正则公理(或 基础公理)、选择公理(记作 AC)。
下面是详细的说明：(iff 表示 当且仅当)
1、外延公理：对所有的集合$A$、$B$，A=B iff 对所有的x($x∈A$ iff $x∈B$)
分析：首先，左边 ( 即“ $A=B$ ”) 蕴含右边 ( 即 “对所有的 $x$ ($x∈A$ iff $x∈B$)”)是等词的性质；重要的是右边蕴含左边。
它说的是：一个集合完全由它的元素(即“外延”)确定，不依赖于其他任何东西(如形状等)。这体现了数学的“量”的特点，也表明了数学的“简单性”——研究集合的时候考虑且只考虑集合的元素。
它的作用是：把证明两个集合相等转化成了证明有相同的元素(这一点在做数学题时非常常用)，确保了第2组公理里断言存在的集合的唯一性。
2、这一组公理都是断言某种集合的存在性。
子集公理模式：
历史回顾：康托(Cantor)认为，“内涵公理模式”(即 对所有的性质$p(x)，{x：p(x)}$ 是集合)成立。
但这是错误的，1901年被“罗素(Russel)悖论”否定(罗素的反例是：取$p(x)$为“$x∉x$”)。
后来，人们把“内涵公理模式”修正为“子集公理模式”：
对所有的性质$p(x)$，对所有的集合A，${x∈A：p(x)}$是集合。
从而排除了悖论。
子集公理模式说的是：如果我们有一个现成的集合A，那么我们就可以拿A中的元素作为“材料”用性质$p(x)$造出一个新的集合${x∈A：p(x)}$，因为${x∈A：p(x)}$是A的子集，所以这个公理模式称作“子集公理模式”。
子集公理模式有重要的意义：它把“性质”实体化了。性质$p(x)$本是一个看不见摸不着的东西，但有了子集公理模式以后，我们用p(x)做成了一个集合${x∈A：p(x)}$(集合是我们的实体)，它可以从局部完全地刻画p(x)的特征。这一点是集合论能够成为数学的基础的最根本的原因，其它的大多数形式系统，不能够把性质实体化，不具备研究性质的能力，因而不能成为数学的基础。
子集公理模式的作用：从已知的集合构造出新的集合。
但是，子集公理模式只能从已知的集合得到它的子集，当我们一无所有的时候，我们能得到什么呢？
首先，我们用逻辑公理能证明：存在$x(x=x)$。也就是说集合是存在的。
我们用某个存在的集合A，利用子集公理模式，可知“${x∈A：x≠x}$是集合”，这个集合就是∅。
但是，对∅使用子集公理模式，我们再也得不出新的集合，因为∅里没有我们想要的“建筑材料”。
所以，要想实现从无到有的突破，我们还需要新的公理。
无序对公理：对所有的集合$A、B，{A，B}$是集合。
有了这个公理以后，我们可以知道 ${∅}$、${{∅}}$、${{{∅}}}$、${∅, { ∅ }}$ 等都是集合。
但是，我们只能得到一元集或二元集，${∅，{∅}，{{∅}}}$是不是集合，我们无从得知。
并集公理：对所有的集合A，${x：存在B∈A，使得x∈B}$ 是集合(记作$∪A$)。
有了并集公理以后，我们可以知道 ${∅，{∅}，{{∅}}}=∪{{∅，{∅}}，{{{∅}}}$ 是集合。
我们还可以证明交集定理：对所有的非空集合$A，∩A={x: 对所有的 B∈A, x∈B}$是集合。
有了并集公理之后，我们可以构造各式各样的集合。
幂集公理：对所有的集合A，${x：x是A的子集}$是集合(记作P(A))。
这个公理可以以更快的速度(指数速度)形成新的集合。
在外延公理的基础上，有了子集公理模式、无序对公理、并集公理和幂集公理以后，我们就可以适当地展开数学了：
首先是有序对的概念：
有序对定理：对所有的集合$a、b，<a，b>={{a}，{a，b}}$是集合。